Warum ist f(x)=1 für x < 0 und f(x)=x^2 für x >= 0 an der Stelle x0=0 nicht differenzierbar?

Question

Warum ist f(x)=1 für x < 0 und f(x)=x^2 für x >= 0 an der Stelle x0=0 nicht differenzierbar?

Antwort

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Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Warum wächst e^x schneller als x^n?

Accepted Answer

Die Funktion \( f(x) \) ist definiert als: \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } x < 0 \\ x^ & \text{ } x \geq 0 \end{cases} \] Um zu überprüfen, ob \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) differenzierbar ist, müssen wir die Definition der Differenzierbarkeit betrachten. Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} \] Zuerst berechnen wir \( f(0) \): \[ f(0) = 0^2 = 0 \] Nun betrachten wir den Grenzwert des Differenzenquotienten für \( h \) von beiden Seiten: 1. **Für \( h \to 0^+ \) (von rechts)**: Hier ist \( h \geq 0 \), also gilt \( f(h) = h^2 \). \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h2 - 0}{h} = \lim_{h \to0^+} h = 0 ] 2. **Für \( h \to 0^- \) (von links)**: Hier ist \( h < 0 \), also gilt \( f(h) = 1 \). \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{h} \] Dieser Grenzwert geht gegen \( -\infty \), da \( h \) negativ ist und sich \( h \) der Null nähert. Da die beiden einseitigen Grenzwerte unterschiedlich sind (der Grenzwert von rechts ist 0 und der von links ist \( -\infty \)), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist die Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) nicht differenzierbar.

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Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig vo... [mehr]

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.