Warum ist f(x)=1 für x < 0 und f(x)=x^2 für x >= 0 an der Stelle x0=0 nicht differenzierbar?

Die Funktion \( f(x) \) ist definiert als:

\[
f(x) =
\begin{cases}
1 & \text{für } x < 0 \\
x^ & \text{ } x \geq 0
\end{cases}
\]

Um zu überprüfen, ob \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) differenzierbar ist, müssen wir die Definition der Differenzierbarkeit betrachten. Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert:

\[
f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}
\]

Zuerst berechnen wir \( f(0) \):

\[
f(0) = 0^2 = 0
\]

Nun betrachten wir den Grenzwert des Differenzenquotienten für \( h \) von beiden Seiten:

1. **Für \( h \to 0^+ \) (von rechts)**:
Hier ist \( h \geq 0 \), also gilt \( f(h) = h^2 \).

\[
\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h2 - 0}{h} = \lim_{h \to0^+} h = 0
]

2. **Für \( h \to 0^- \) (von links)**:
Hier ist \( h < 0 \), also gilt \( f(h) = 1 \).

\[
\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{h}
\]

Dieser Grenzwert geht gegen \( -\infty \), da \( h \) negativ ist und sich \( h \) der Null nähert.

Da die beiden einseitigen Grenzwerte unterschiedlich sind (der Grenzwert von rechts ist 0 und der von links ist \( -\infty \)), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist die Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) nicht differenzierbar.