Um den Ausdruck \((r^2 \sin(x) \cos(y) \sin(y)) \cdot (r^2 \cos(x) \cos^2(y))\) zu berechnen, multipliziere die beiden Terme aus: 1. Multipliziere die \(r^2\)-Terme: \(r^2 \cdot r^2 = r^4\) 2. Mult...
Warum ist f(x)=1 für x < 0 und f(x)=x^2 für x >= 0 an der Stelle x0=0 nicht differenzierbar?
Antwort vomDie Funktion \( f(x) \) ist definiert als: \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } x < 0 \\ x^ & \text{ } x \geq 0 \end{cases} \] Um zu überprüfen, ob \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) differenzierbar ist, müssen wir die Definition der Differenzierbarkeit betrachten. Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} \] Zuerst berechnen wir \( f(0) \): \[ f(0) = 0^2 = 0 \] Nun betrachten wir den Grenzwert des Differenzenquotienten für \( h \) von beiden Seiten: 1. **Für \( h \to 0^+ \) (von rechts)**: Hier ist \( h \geq 0 \), also gilt \( f(h) = h^2 \). \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h2 - 0}{h} = \lim_{h \to0^+} h = 0 ] 2. **Für \( h \to 0^- \) (von links)**: Hier ist \( h < 0 \), also gilt \( f(h) = 1 \). \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{h} \] Dieser Grenzwert geht gegen \( -\infty \), da \( h \) negativ ist und sich \( h \) der Null nähert. Da die beiden einseitigen Grenzwerte unterschiedlich sind (der Grenzwert von rechts ist 0 und der von links ist \( -\infty \)), existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist die Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) nicht differenzierbar.
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