Um die Gleichung \(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2\) durch vollständige Induktion zu beweisen, gehen wir wie folgt vor: **Induktionsanfang:** Für \(n = 1\): \[ 1 = 1^2 \] Die Aussage ist also für \(n = 1\) wahr. **Induktionsvoraussetzung:** Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebiges \(n = k\), das heißt: \[ 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1) = k^2 \] **Induktionsschritt:** Wir müssen zeigen, dass die Aussage auch für \(n = k + 1\) gilt, also: \[ 1 + 3 + 5 + \ldots + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2 \] Die linke Seite können wir umschreiben, indem wir die Induktionsvoraussetzung verwenden: \[ 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) \] Das ergibt: \[ k^2 + (2(k + 1) - 1) \] Setzen wir \(2(k + 1) - 1 = 2k + 2 - 1 = 2k + 1\) ein: \[ k^2 + (2k + 1) \] Nun fassen wir das zusammen: \[ k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2 \] Damit haben wir gezeigt, dass die Aussage auch für \(n = k + 1\) gilt. **Schlussfolgerung:** Da der Induktionsanfang und der Induktionsschritt erfolgreich durchgeführt wurden, folgt durch vollständige Induktion, dass die Gleichung \(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2\) für alle natürlichen Zahlen \(n\) gilt.