2 Fragen zu Dreieckszahlen

Um den kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( xRy \) zu finden, bei der \( N_D(x) = N_D(y) \) gilt, müssen wir zunächst verstehen, was \( N_D(n) \) bedeutet. \( N_D(n) \) ist die kleinste Anzahl von Dreieckszahlen, deren Summe \( n \) ergibt. Dreieckszahlen sind Zahlen der Form \( T_m = \frac{m(m+1)}{2} \) für \( m \in \mathbb{N} \). Die ersten Dreieckszahlen sind 1, 3, 6, 10, 15, 21, usw. Um den kleinsten Vertreter einer Äquivalenzklasse zu finden, die durch die Anzahl der benötigten Dreieckszahlen zur Darstellung einer Zahl definiert ist, kann man die Zahlen systematisch untersuchen und die Anzahl der Dreieckszahlen zählen, die benötigt werden, um jede Zahl darzustellen. Ein Beispiel: - Für \( n = 1 \) ist \( N_D(1) = 1 \) (1 selbst). - Für \( n = 2 \) ist \( N_D(2) = 2 \) (1 + 1). - Für \( n = 3 \) ist \( N_D(3) = 1 \) (3 selbst). - Für \( n = 4 \) ist \( N_D(4) = 2 \) (1 + 3). - Für \( n = 5 \) ist \( N_D(5) = 2 \) (1 + 1 + 3). - Für \( n = 6 \) ist \( N_D(6) = 1 \) (6 selbst). Um den kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse für eine bestimmte Anzahl von Dreieckszahlen zu finden, musst du die Zahlen auflisten, die die gleiche Anzahl von Dreieckszahlen benötigen, und dann den kleinsten Wert auswählen. Wenn du eine spezifische Zahl oder Anzahl von Dreieckszahlen im Sinn hast, kann ich dir helfen, den kleinsten Vertreter zu finden.

Um die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( N_D(n) \leq 3 \) zu finden, betrachten wir die Dreieckszahlen, die durch die Formel \( T_m = \frac{m(m+1)}{2} \) für \( m \in \mathbb{N} \) definiert sind. Die ersten Dreieckszahlen sind: - \( T_1 = 1 \) - \( T_2 = 3 \) - \( T_3 = 6 \) - \( T_4 = 10 \) - \( T_5 = 15 \) - ... Nun bestimmen wir die Werte von \( N_D(n) \) für verschiedene \( n \): 1. **Für \( n = 1 \)**: - \( 1 = T_1 \) → \( N_D(1) = 1 \) 2. **Für \( n = 2 \)**: - \( 2 \) kann nicht als Summe von Dreieckszahlen dargestellt werden → \( N_D(2) = \infty \) 3. **Für \( n = 3 \)**: - \( 3 = T_2 \) → \( N_D(3) = 1 \) 4. **Für \( n = 4 \)**: - \( 4 = T_1 + T_1 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(4) = 4 \) 5. **Für \( n = 5 \)**: - \( 5 = T_1 + T_1 + T_1 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(5) = 5 \) 6. **Für \( n = 6 \)**: - \( 6 = T_3 \) → \( N_D(6) = 1 \) 7. **Für \( n = 7 \)**: - \( 7 = T_3 + T_1 \) → \( N_D(7) = 2 \) 8. **Für \( n = 8 \)**: - \( 8 = T_3 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(8) = 3 \) 9. **Für \( n = 9 \)**: - \( 9 = T_3 + T_2 \) → \( N_D(9) = 2 \) 10. **Für \( n = 10 \)**: - \( 10 = T_4 \) → \( N_D(10) = 1 \) Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( N_D(n) \leq 3 \) sind somit: - \( n = 1 \) mit \( N_D(1) = 1 \) - \( n = 3 \) mit \( N_D(3) = 1 \) - \( n = 7 \) mit \( N_D(7) = 2 \) - \( n = 8 \) mit \( N_D(8) = 3 \) - \( n = 9 \) mit \( N_D(9) = 2 \) Die kleinsten Werte von \( n \) für \( N_D(n) \leq 3 \) sind also \( 1, 3, 7, 8, 9 \).