Um die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( N_D(n) \leq 3 \) zu finden, betrachten wir die Dreieckszahlen, die durch die Formel \( T_m = \frac{m(m+1)}{2} \) für \( m \in \mathbb{N} \) definiert sind. Die ersten Dreieckszahlen sind: - \( T_1 = 1 \) - \( T_2 = 3 \) - \( T_3 = 6 \) - \( T_4 = 10 \) - \( T_5 = 15 \) - ... Nun bestimmen wir die Werte von \( N_D(n) \) für verschiedene \( n \): 1. **Für \( n = 1 \)**: - \( 1 = T_1 \) → \( N_D(1) = 1 \) 2. **Für \( n = 2 \)**: - \( 2 \) kann nicht als Summe von Dreieckszahlen dargestellt werden → \( N_D(2) = \infty \) 3. **Für \( n = 3 \)**: - \( 3 = T_2 \) → \( N_D(3) = 1 \) 4. **Für \( n = 4 \)**: - \( 4 = T_1 + T_1 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(4) = 4 \) 5. **Für \( n = 5 \)**: - \( 5 = T_1 + T_1 + T_1 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(5) = 5 \) 6. **Für \( n = 6 \)**: - \( 6 = T_3 \) → \( N_D(6) = 1 \) 7. **Für \( n = 7 \)**: - \( 7 = T_3 + T_1 \) → \( N_D(7) = 2 \) 8. **Für \( n = 8 \)**: - \( 8 = T_3 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(8) = 3 \) 9. **Für \( n = 9 \)**: - \( 9 = T_3 + T_2 \) → \( N_D(9) = 2 \) 10. **Für \( n = 10 \)**: - \( 10 = T_4 \) → \( N_D(10) = 1 \) Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( N_D(n) \leq 3 \) sind somit: - \( n = 1 \) mit \( N_D(1) = 1 \) - \( n = 3 \) mit \( N_D(3) = 1 \) - \( n = 7 \) mit \( N_D(7) = 2 \) - \( n = 8 \) mit \( N_D(8) = 3 \) - \( n = 9 \) mit \( N_D(9) = 2 \) Die kleinsten Werte von \( n \) für \( N_D(n) \leq 3 \) sind also \( 1, 3, 7, 8, 9 \).