Bestimme die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse für N_D(n)≤3 mit xRy:⇔N_D(x)=N_D(y).

Question

Bestimme die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse für N_D(n)≤3 mit xRy:⇔N_D(x)=N_D(y).

Antwort

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Multipliziere und vereinfache (5 - a) • (12a - 5b).

(5-a) • (12a-5b) multiplizieren und vereinfachen.

Was ist der kleinste Vertreter der Äquivalenzklasse xRy: N_D(x)=N_D(y), wobei N_D(n) die kleinste Anzahl an Dreieckszahlen mit der Summe n bezeichnet?

xRy: Wenn (x−y) durch 8 teilbar ist, was sind die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse?

Accepted Answer

Um die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( N_D(n) \leq 3 \) zu finden, betrachten wir die Dreieckszahlen, die durch die Formel \( T_m = \frac{m(m+1)}{2} \) für \( m \in \mathbb{N} \) definiert sind. Die ersten Dreieckszahlen sind: - \( T_1 = 1 \) - \( T_2 = 3 \) - \( T_3 = 6 \) - \( T_4 = 10 \) - \( T_5 = 15 \) - ... Nun bestimmen wir die Werte von \( N_D(n) \) für verschiedene \( n \): 1. **Für \( n = 1 \)**: - \( 1 = T_1 \) → \( N_D(1) = 1 \) 2. **Für \( n = 2 \)**: - \( 2 \) kann nicht als Summe von Dreieckszahlen dargestellt werden → \( N_D(2) = \infty \) 3. **Für \( n = 3 \)**: - \( 3 = T_2 \) → \( N_D(3) = 1 \) 4. **Für \( n = 4 \)**: - \( 4 = T_1 + T_1 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(4) = 4 \) 5. **Für \( n = 5 \)**: - \( 5 = T_1 + T_1 + T_1 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(5) = 5 \) 6. **Für \( n = 6 \)**: - \( 6 = T_3 \) → \( N_D(6) = 1 \) 7. **Für \( n = 7 \)**: - \( 7 = T_3 + T_1 \) → \( N_D(7) = 2 \) 8. **Für \( n = 8 \)**: - \( 8 = T_3 + T_1 + T_1 \) → \( N_D(8) = 3 \) 9. **Für \( n = 9 \)**: - \( 9 = T_3 + T_2 \) → \( N_D(9) = 2 \) 10. **Für \( n = 10 \)**: - \( 10 = T_4 \) → \( N_D(10) = 1 \) Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( N_D(n) \leq 3 \) sind somit: - \( n = 1 \) mit \( N_D(1) = 1 \) - \( n = 3 \) mit \( N_D(3) = 1 \) - \( n = 7 \) mit \( N_D(7) = 2 \) - \( n = 8 \) mit \( N_D(8) = 3 \) - \( n = 9 \) mit \( N_D(9) = 2 \) Die kleinsten Werte von \( n \) für \( N_D(n) \leq 3 \) sind also \( 1, 3, 7, 8, 9 \).

Accepted Answer

Um die Ausdrücke zu multiplizieren, wendest du die distributive Eigenschaft an. Das bedeutet, dass du jeden Term im ersten Ausdruck mit jedem Term im zweiten Ausdruck multiplizierst. Hier ist di... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ausdrücke zu multiplizieren, wendest du die distributive Eigenschaft an. Das bedeutet, dass du jeden Term im ersten Ausdruck mit jedem Term im zweiten Ausdruck multiplizierst. Hier ist die Berechnung: \[ (5 - a) \cdot (12a - 5b) = 5 \cdot 12a + 5 \cdot (-5b) - a \cdot 12a - a \cdot (-5b) \] Das ergibt: \[ = 60a - 25b - 12a^2 + 5ab \] Nun fassen wir die Terme zusammen: \[ = -12a^2 + (60a + 5ab - 25b) \] Das ist die vereinfachte Form des Ausdrucks: \[ -12a^2 + 60a + 5ab - 25b \]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \((5-a) \cdot (12a-5b)\) zu multiplizieren, verwenden wir die distributive Eigenschaft (auch bekannt als das Ausmultiplizieren). 1. Multipliziere \(5\) mit beiden Termen in der zweit... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \((5-a) \cdot (12a-5b)\) zu multiplizieren, verwenden wir die distributive Eigenschaft (auch bekannt als das Ausmultiplizieren). 1. Multipliziere \(5\) mit beiden Termen in der zweiten Klammer: \[ 5 \cdot 12a = 60a \] \[ 5 \cdot (-5b) = -25b \] 2. Multipliziere \(-a\) mit beiden Termen in der zweiten Klammer: \[ -a \cdot 12a = -12a^2 \] \[ -a \cdot (-5b) = 5ab \] 3. Fasse alle Ergebnisse zusammen: \[ 60a - 25b - 12a^2 + 5ab \] 4. Ordne die Terme: \[ -12a^2 + 60a + 5ab - 25b \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ -12a^2 + 60a + 5ab - 25b \]

Accepted Answer

Um den kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( xRy \) zu finden, bei der \( N_D(x) = N_D(y) \) gilt, müssen wir zunächst verstehen, was \( N_D(n) \) bedeutet. \( N_D(n) \) ist die k... [mehr]

Accepted Answer

Um den kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse \( xRy \) zu finden, bei der \( N_D(x) = N_D(y) \) gilt, müssen wir zunächst verstehen, was \( N_D(n) \) bedeutet. \( N_D(n) \) ist die kleinste Anzahl von Dreieckszahlen, deren Summe \( n \) ergibt. Dreieckszahlen sind Zahlen der Form \( T_m = \frac{m(m+1)}{2} \) für \( m \in \mathbb{N} \). Die ersten Dreieckszahlen sind 1, 3, 6, 10, 15, 21, usw. Um den kleinsten Vertreter einer Äquivalenzklasse zu finden, die durch die Anzahl der benötigten Dreieckszahlen zur Darstellung einer Zahl definiert ist, kann man die Zahlen systematisch untersuchen und die Anzahl der Dreieckszahlen zählen, die benötigt werden, um jede Zahl darzustellen. Ein Beispiel: - Für \( n = 1 \) ist \( N_D(1) = 1 \) (1 selbst). - Für \( n = 2 \) ist \( N_D(2) = 2 \) (1 + 1). - Für \( n = 3 \) ist \( N_D(3) = 1 \) (3 selbst). - Für \( n = 4 \) ist \( N_D(4) = 2 \) (1 + 3). - Für \( n = 5 \) ist \( N_D(5) = 2 \) (1 + 1 + 3). - Für \( n = 6 \) ist \( N_D(6) = 1 \) (6 selbst). Um den kleinsten Vertreter der Äquivalenzklasse für eine bestimmte Anzahl von Dreieckszahlen zu finden, musst du die Zahlen auflisten, die die gleiche Anzahl von Dreieckszahlen benötigen, und dann den kleinsten Wert auswählen. Wenn du eine spezifische Zahl oder Anzahl von Dreieckszahlen im Sinn hast, kann ich dir helfen, den kleinsten Vertreter zu finden.

Accepted Answer

Die Relation \( xRy \) definiert eine Äquivalenzrelation, bei der \( x \) und \( y \) in Relation zueinander, wenn die Differenz \( (x - y) \) durch 8 teilbar ist. Das bedeutet, dass \( x \) und... [mehr]

Accepted Answer

Die Relation \( xRy \) definiert eine Äquivalenzrelation, bei der \( x \) und \( y \) in Relation zueinander, wenn die Differenz \( (x - y) \) durch 8 teilbar ist. Das bedeutet, dass \( x \) und \( y \) in der gleichen Äquivalenzklasse sind, wenn sie den gleichen Rest bei der Division durch 8 haben. Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklassen sind die Reste, die man erhält, wenn man die Zahlen 0 bis 7 betrachtet. Diese Reste sind: - Äquivalenzklasse 0: \( \{ ..., -16, -8, 0, 8, 16, ... \} \) - Äquivalenzklasse 1: \( \{ ..., -15, -7, 1, 9, 17, ... \} \) - Äquivalenzklasse 2: \( \{ ..., -14, -6, 2, 10, 18, ... \} \) - Äquivalenzklasse 3: \( \{ ..., -13, -5, 3, 11, 19, ... \} \) - Äquivalenzklasse 4: \( \{ ..., -12, -4, 4, 12, 20, ... \} \) - Äquivalenzklasse 5: \( \{ ..., -11, -3, 5, 13, 21, ... \} \) - Äquivalenzklasse 6: \( \{ ..., -10, -2, 6, 14, 22, ... \} \) - Äquivalenzklasse 7: \( \{ ..., -9, -1, 7, 15, 23, ... \} \) Die kleinsten Vertreter der Äquivalenzklassen sind also die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.