Berechne die Nullstellen der Funktion f(x) = 16x^4 - 40x^2 + 9.

Question

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion $ f(x) = 16x^4 - 40x^2 + 9 $ zu berechnen, setzen wir die Funktion gleich null:

$$
16x^4 - 40x^2 + 9 = 0
$$

Um die Berechnung zu vereinfachen, führen wir eine Substitution durch. Setze $ y = x^2 $. Dann wird die Gleichung zu:

$$
16y^2 - 40y + 9 = 0
$$

Jetzt können wir die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) anwenden, um die Werte für $ y $ zu finden:

$$
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Hier sind $ a = 16 $, $ b = -40 $ und $ c = 9 $. Setzen wir die Werte ein:

$$
y = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}
$$

Berechnen wir den Diskriminanten:

$$
(-40)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 1600 - 576 = 1024
$$

Nun setzen wir den Diskriminanten in die Formel ein:

$$
y = \frac{40 \pm \sqrt{1024}}{32}
$$

Da $ \sqrt{1024} = 32 $, erhalten wir:

$$
y = \frac{40 \pm 32}{32}
$$

Das ergibt zwei Lösungen:

1. $ y_1 = \frac{72}{32} = \frac{9}{4} $
2. $ y_2 = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} $

Jetzt setzen wir zurück zu $ x^2 $:

1. $ x^2 = \frac{9}{4} $  →  $ x = \pm \frac{3}{2} $
2. $ x^2 = \frac{1}{4} $  →  $ x = \pm \frac{1}{2} $

Die Nullstellen der Funktion $ f(x) $ sind somit:

$$
x = \frac{3}{2}, \quad x = -\frac{3}{2}, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{2}
$$

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