Löse vier lineare Gleichungen mit fünf Variablen Schritt für Schritt.

Um ein System von vier linearen Gleichungen mit fünf Variablen zu lösen, können wir die Gleichungen in Matrixform darstellen und dann verschiedene Methoden anwenden, wie z.B. das Einsetzungsverfahren oder das Eliminationsverfahren. Da es mehr Variablen als Gleichungen gibt, wird das System in der Regel unendlich viele Lösungen haben. Hier ist ein Beispiel und die Schritte zur Lösung:

**Gegebenes System:**

1. \( x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + x_5 = 10 \) (Gleichung 1)
2. \( 2x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 + 3x_5 = 15 \) (Gleichung 2)
3. \( 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + x_4 + 2x_5 = 20 \) (Gleichung 3)
4. \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 5x_5 = 25 \) (Gleichung 4)

**Schritt 1: Aufstellen der erweiterten Matrix**

Die erweiterte Matrix des Systems sieht folgendermaßen aus:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 1 & | & 10 \\
2 & 1 & 1 & 2 & 3 & | & 15 \\
3 & 4 & 2 & 1 & 2 & | & 20 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 5 & | & 25
\end{pmatrix}
\]

**Schritt 2: Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens**

Ziel ist es, die Matrix in Zeilen-Stufenform zu bringen.

1. Wir können die erste Zeile als Pivot-Zeile verwenden und die anderen Zeilen entsprechend anpassen.

2. Subtrahiere das 2-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile, das 3-fache von der dritten Zeile und die erste Zeile von der vierten Zeile:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 1 & | & 10 \\
0 & -3 & -5 & -6 & 1 & | & -5 \\
0 & -2 & -7 & -11 & -1 & | & -10 \\
0 & -1 & -2 & -3 & 4 & | & 15
\end{pmatrix}
\]

3. Nun können wir die zweite Zeile als Pivot-Zeile verwenden und die anderen Zeilen anpassen.

4. Setze die Matrix weiter um, bis sie in reduzierte Zeilen-Stufenform ist.

**Schritt 3: Rücksubstitution**

Nach der vollständigen Umformung erhältst du eine Matrix, die dir die Werte für einige Variablen direkt gibt, während andere Variablen frei bleiben. Zum Beispiel könnte das Ergebnis so aussehen:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & a & b & | & c \\
0 & 1 & 0 & d & e & | & f \\
0 & 0 & 1 & g & h & | & i \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

Hierbei sind \(a, b, c, d, e, f, g, h, i\) Konstanten, und die letzten Zeilen zeigen, dass es unendlich viele Lösungen gibt, da eine oder mehrere Variablen frei gewählt werden können.

**Schritt 4: Allgemeine Lösung**

Die allgemeine Lösung kann dann in der Form \(x_1 = c_1, x_2 = c_2, x_3 = c_3, x_4 = t, x_5 = s\) angegeben werden, wobei \(t\) und \(s\) Parameter sind, die beliebige Werte annehmen können.

Das ist der allgemeine Ablauf zur Lösung eines Systems von vier linearen Gleichungen mit fünf Variablen.