Löse vier lineare Gleichungen mit fünf Variablen Schritt für Schritt.

Question

Löse vier lineare Gleichungen mit fünf Variablen Schritt für Schritt.

Antwort

Verwandte Fragen

Wie löse ich das LGS y = 9x - 49 mit dem Gleichsetzungsverfahren?

Wie löse ich die Gleichung 1a :(2^(-1/2) * a + 1^(-1/2)) nach a auf?

Accepted Answer

Um ein System von vier linearen Gleichungen mit fünf Variablen zu lösen, können wir die Gleichungen in Matrixform darstellen und dann verschiedene Methoden anwenden, wie z.B. das Einsetzungsverfahren oder das Eliminationsverfahren. Da es mehr Variablen als Gleichungen gibt, wird das System in der Regel unendlich viele Lösungen haben. Hier ist ein Beispiel und die Schritte zur Lösung: **Gegebenes System:** 1. \( x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + x_5 = 10 \) (Gleichung 1) 2. \( 2x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 + 3x_5 = 15 \) (Gleichung 2) 3. \( 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + x_4 + 2x_5 = 20 \) (Gleichung 3) 4. \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 5x_5 = 25 \) (Gleichung 4) **Schritt 1: Aufstellen der erweiterten Matrix** Die erweiterte Matrix des Systems sieht folgendermaßen aus: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & | & 10 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 3 & | & 15 \\ 3 & 4 & 2 & 1 & 2 & | & 20 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 5 & | & 25 \end{pmatrix} \] **Schritt 2: Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens** Ziel ist es, die Matrix in Zeilen-Stufenform zu bringen. 1. Wir können die erste Zeile als Pivot-Zeile verwenden und die anderen Zeilen entsprechend anpassen. 2. Subtrahiere das 2-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile, das 3-fache von der dritten Zeile und die erste Zeile von der vierten Zeile: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & | & 10 \\ 0 & -3 & -5 & -6 & 1 & | & -5 \\ 0 & -2 & -7 & -11 & -1 & | & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & 4 & | & 15 \end{pmatrix} \] 3. Nun können wir die zweite Zeile als Pivot-Zeile verwenden und die anderen Zeilen anpassen. 4. Setze die Matrix weiter um, bis sie in reduzierte Zeilen-Stufenform ist. **Schritt 3: Rücksubstitution** Nach der vollständigen Umformung erhältst du eine Matrix, die dir die Werte für einige Variablen direkt gibt, während andere Variablen frei bleiben. Zum Beispiel könnte das Ergebnis so aussehen: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & a & b & | & c \\ 0 & 1 & 0 & d & e & | & f \\ 0 & 0 & 1 & g & h & | & i \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Hierbei sind \(a, b, c, d, e, f, g, h, i\) Konstanten, und die letzten Zeilen zeigen, dass es unendlich viele Lösungen gibt, da eine oder mehrere Variablen frei gewählt werden können. **Schritt 4: Allgemeine Lösung** Die allgemeine Lösung kann dann in der Form \(x_1 = c_1, x_2 = c_2, x_3 = c_3, x_4 = t, x_5 = s\) angegeben werden, wobei \(t\) und \(s\) Parameter sind, die beliebige Werte annehmen können. Das ist der allgemeine Ablauf zur Lösung eines Systems von vier linearen Gleichungen mit fünf Variablen.

Accepted Answer

Um das Gleichsetzungsverfahren anwenden zu können, benötigst du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit **zwei Gleichungen** und **zwei Variablen** (meistens x und y). In deiner Angabe steht... [mehr]

Accepted Answer

Um das Gleichsetzungsverfahren anwenden zu können, benötigst du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit **zwei Gleichungen** und **zwei Variablen** (meistens x und y). In deiner Angabe steht aber nur **eine Gleichung**: \( y = 9x - 49 \) Das ist keine System von Gleichungen sondern nur eine einzelne Gleichung mit zwei Unbekannten. Das Gleichsetzungsverfahren ist hier nicht anwendbar, da mindestens zwei Gleichungen benötigt werden. **Fazit:** Mit nur einer Gleichung kann das Gleichsetzungsverfahren nicht angewendet werden. Bitte gib eine zweite Gleichung an, damit das LGS gelöst werden kann.

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).