Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...
Löse die Gleichung 3^(2x-1) - 3^(2x+1) + 3^(2x+3) = 219 mit Rechenschritten.
Antwort vomUm die Gleichung \( 3^{2x-1} - 3^{2x+1} + 3^{2x+3} = 219 \) zu lösen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Umformung der Terme**: Wir können die Terme umschreiben, indem wir \( 3^{2x} \) als \( y \) setzen. Dann gilt: \[ 3^{2x-1} = \frac{y}{3}, \quad 3^{2x+1} = 3y, \quad 3^{2x+3} = 27y \] Setzen wir diese in die Gleichung ein: \[ \frac{y}{3} - 3y + 27y = 219 \] 2. **Vereinfachung der Gleichung**: Multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit 3, um die Brüche zu eliminieren: \[ y - 9y + 81y = 657 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 73y = 657 \] 3. **Lösen nach \( y \)**: Teilen wir beide Seiten durch 73: \[ y = \frac{657}{73} = 9 \] 4. **Rücksubstitution**: Da wir \( y = 3^{2x} \) gesetzt haben, setzen wir zurück: \[ 3^{2x} = 9 \] Da \( 9 = 3^2 \), können wir schreiben: \[ 3^{2x} = 3^2 \] 5. **Gleichsetzen der Exponenten**: Da die Basen gleich sind, setzen wir die Exponenten gleich: \[ 2x = 2 \] 6. **Lösen nach \( x \)**: Teilen wir durch 2: \[ x = 1 \] Die Lösung der Gleichung ist also \( x = 1 \).
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