Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten a = x und b = x + 1?

Question

Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten a = x und b = x + 1?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie groß ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse 10 cm und Höhe auf der Hypotenuse 6 cm?

Wie berechnet man ein gleichseitiges Dreieck?

Was ist der Schwerpunkt eines Dreiecks?

Ist ein solches Dreieck geometrisch möglich?

Was sind Sinussatz und Kosinussatz und wann werden sie angewendet?

Wie viele Lösungswege gibt es, um ein Dreieck mit einem Katheter und einem Winkel zu lösen?

Accepted Answer

Um die Länge der Hypotenuse \( c \) eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden. Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] In deinem Fall sind die Katheten \( a = x \) und \( b = x + 1 \). Setze diese Werte in die Gleichung ein: \[ x^2 + (x + 1)^2 = c^2 \] Berechne die Quadrate der Katheten: \[ x^2 + (x^2 + 2x + 1) = c^2 \] Fasse die Terme zusammen: \[ x^2 + x^2 + 2x + 1 = c^2 \] \[ 2x^2 + 2x + 1 = c^2 \] Um \( c \) zu finden, nimm die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung: \[ c = \sqrt{2x^2 + 2x + 1} \] Die Hypotenuse \( c \) ist also: \[ c = \sqrt{2x^2 + 2x + 1} \]

Accepted Answer

Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich allgemein mit: \[ A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{zugehörige Höhe} \] In deinem Fall ist die Grundseite die Hypotenuse \(... [mehr]

Accepted Answer

Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich allgemein mit: \[ A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{zugehörige Höhe} \] In deinem Fall ist die Grundseite die Hypotenuse \( c = 10\,\text{cm} \) und die zugehörige Höhe \( h_c = 6\,\text{cm} \). Setze die Werte ein: \[ A = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2 \] **Antwort:** Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks beträgt **30 cm²**.

Accepted Answer

Um ein gleichseitiges Dreieck zu berechnen, benötigst du in der Regel eine Seitenlänge (a). Da alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel 60° betragen, lassen sich verschiedene Grö... [mehr]

Accepted Answer

Um ein gleichseitiges Dreieck zu berechnen, benötigst du in der Regel eine Seitenlänge (a). Da alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel 60° betragen, lassen sich verschiedene Größen wie folgt berechnen: **1. Umfang (U):** \[ U = 3a \] **2. Höhe (h):** \[ h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \] **3. Fläche (A):** \[ A = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \] **Beispiel:** Gegeben ist die Seitenlänge \( a = 6\,\text{cm} \). - Umfang: \( U = 3 \times 6 = 18\,\text{cm} \) - Höhe: \( h = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} \approx 5{,}20\,\text{cm} \) - Fläche: \( A = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\,\text{cm}^2 \) Mit diesen Formeln kannst du alle wichtigen Größen eines gleichseitigen Dreiecks berechnen, wenn du eine Seitenlänge kennst.

Accepted Answer

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden (also die Geraden, die jeweils einen Eckpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden) schneiden... [mehr]

Accepted Answer

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden (also die Geraden, die jeweils einen Eckpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden) schneiden. Er wird auch als "Centroid" bezeichnet. Eigenschaften des Schwerpunkts: - Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1, wobei der längere Abschnitt beim Eckpunkt liegt. - Der Schwerpunkt ist der "Mittelpunkt der Masse" eines homogenen Dreiecks. Berechnung der Koordinaten (bei gegebener Eckpunkten \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\)): \[ S\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] Der Schwerpunkt liegt also genau im arithmetischen Mittel der Koordinaten der drei Eckpunkte.

Accepted Answer

Deine Aussage bezieht sich vermutlich auf eine vorherige Beschreibung oder Aufgabe zu einem Dreieck, bei dem bestimmte Bedingungen nicht erfüllt werden können. Ein Dreieck ist nur dann m&oum... [mehr]

Accepted Answer

Deine Aussage bezieht sich vermutlich auf eine vorherige Beschreibung oder Aufgabe zu einem Dreieck, bei dem bestimmte Bedingungen nicht erfüllt werden können. Ein Dreieck ist nur dann möglich, wenn die Summe der Längen zweier Seiten stets größer ist als die Länge der dritten Seite (Dreiecksungleichung). Außerdem muss die Summe der Innenwinkel immer 180° betragen. Wenn also zum Beispiel Seitenlängen oder Winkel angegeben wurden, die diese Bedingungen verletzen, ist das beschriebene Dreieck tatsächlich nicht möglich. Falls du konkrete Werte oder eine Aufgabe hast, kann ich das gerne genauer überprüfen.

Accepted Answer

Der **Sinussatz** und der **Kosinussatz** sind zwei wichtige mathematische Sätze aus der Trigonometrie, die in beliebigen Dreiecken (also nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken) verwendet werden.... [mehr]

Accepted Answer

Der **Sinussatz** und der **Kosinussatz** sind zwei wichtige mathematische Sätze aus der Trigonometrie, die in beliebigen Dreiecken (also nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken) verwendet werden. ### Sinussatz **Formel:** \[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \] - \(a, b, c\): Seitenlängen des Dreiecks - \(\alpha, \beta, \gamma\): jeweils die gegenüberliegenden Winkel zu den Seiten **Anwendung:** Der Sinussatz wird verwendet, wenn du in einem beliebigen Dreieck - zwei Winkel und eine beliebige Seite kennst (WWS oder SSW), - oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennst (SSW). ### Kosinussatz **Formel:** \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \] (und entsprechend für die anderen Seiten) **Anwendung:** Der Kosinussatz wird verwendet, wenn du in einem beliebigen Dreieck - alle drei Seiten kennst und einen Winkel berechnen willst (SSS), - oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst (SWS). ### Zusammenfassung - **Sinussatz:** Wenn du zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennst. - **Kosinussatz:** Wenn du alle drei Seiten oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst. Beide Sätze helfen dir, fehlende Seiten oder Winkel in beliebigen Dreiecken zu berechnen, nicht nur in rechtwinkligen.

Accepted Answer

Um ein Dreieck zu lösen, also alle Seiten und Winkel zu bestimmen, benötigt man in der Regel mindestens drei Angaben, wobei mindestens eine davon eine Seite sein muss. Deine Frage bezieht si... [mehr]

Accepted Answer

Um ein Dreieck zu lösen, also alle Seiten und Winkel zu bestimmen, benötigt man in der Regel mindestens drei Angaben, wobei mindestens eine davon eine Seite sein muss. Deine Frage bezieht sich auf die Situation, in der **ein Katheter (eine Seite, meist bei rechtwinkligen Dreiecken als "Kathete" bezeichnet) und ein Winkel** gegeben sind. Hier die möglichen Lösungswege: 1. **Rechtwinkliges Dreieck**: - Ist das Dreieck rechtwinklig und du kennst eine Kathete und einen weiteren Winkel (außer dem rechten Winkel), dann kannst du das Dreieck eindeutig lösen. - Mit einer Kathete und einem Winkel (außer dem rechten Winkel) kannst du die anderen Seiten und Winkel mit den **trigonometrischen Funktionen** (Sinus, Kosinus, Tangens) berechnen. 2. **Allgemeines Dreieck**: - Bei einem allgemeinen Dreieck (nicht rechtwinklig) und der Angabe einer Seite und eines Winkels gibt es **im Allgemeinen keine eindeutige Lösung**. - Es können je nach Lage des Winkels und der Seite **keine, eine oder zwei Lösungen** existieren (Stichwort: "Seiten-Winkel-Winkel"- oder "Seiten-Winkel-Seiten"-Fälle, siehe auch "ambiguous case" beim Sinussatz). **Fazit:** - Bei einem **rechtwinkligen Dreieck** gibt es mit einer Kathete und einem Winkel (außer dem rechten Winkel) **genau einen Lösungsweg**. - Bei einem **allgemeinen Dreieck** kann es **keinen, einen oder zwei Lösungswege** geben, abhängig von den gegebenen Werten (siehe Sinussatz, "ambiguous case"). **Weiterführende Links:** - [Sinussatz – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Sinussatz) - [Dreieck berechnen – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/dreieck-berechnen) Wenn du einen konkreten Fall hast (z.B. welche Seite und welcher Winkel gegeben sind), kann die Antwort noch genauer ausfallen.