Inhalt des Ricci-Tensors

Der Ricci-Tensor ist ein wichtiger Bestandteil der allgemeinen Relitätstheorie und beschreibt, wie die Geometrie einer gekrümmten Raum-Zeit durch die Verteilung von Materie und Energie beeinflusst wird. Er wird aus dem Riemann-Tensor abgeleitet und ist ein symmetrischer Tensor.

Der Ricci-Tensor \( R_{\mu\nu} \) wird definiert als die Spur des Riemann-Tensors \( R^\rho_{\ \mu\sigma\nu} \):

\[
R_{\mu\nu} = R^\rho_{\ \mu\rho\nu}
\]

In einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum hat der Ricci-Tensor 10 unabhängige Komponenten, da er symmetrisch ist. In einem lokalen Koordinatensystem kann der Ricci-Tensor in Bezug auf die Metrik \( g_{\mu\nu} \) und deren Ableitungen ausgedrückt werden.

Die physikalische Bedeutung des Ricci-Tensors liegt darin, dass er in der Einstein-Gleichung erscheint:

\[
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + g_{\mu\nu}\Lambda = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\]

Hierbei ist \( R \) der Ricci-Skalar, \( \Lambda \) die kosmologische Konstante, \( G \) die Gravitationskonstante und \( T_{\mu\nu} \) der Energie-Impuls-Tensor. Der Ricci-Tensor gibt also Auskunft über die Krümmung der Raum-Zeit in Abhängigkeit von der Materieverteilung.