(5 - 2x)² + (2x + 1)² = (3x - 5)² - 14?

Question

(5 - 2x)² + (2x + 1)² = (3x - 5)² - 14?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie löse ich die Gleichung 1a :(2^(-1/2) * a + 1^(-1/2)) nach a auf?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 12 verschiedene Quadrate auf ein 3x4-Raster zu legen, wenn jedes Quadrat 4-mal gedreht werden kann? Rechenweg bitte.

Wie kann ich eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung verwenden?

-1,25x^2 + 5 = 0, wie berechne ich x?

Wie nennt man es, wenn man eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral überführt?

Wie lautet die Gleichung: Einhalb mal X gleich 50?

Wie formt man 8 = 1/3^x zu x^3 = 1/8 um?

Accepted Answer

Um die Gleichung \((5 - 2x)^2 + (2x + 1)^2 = (3x - 5)^2 - 14\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Entwickle die Quadrate**: \[ (5 - 2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2 \] \[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \] \[ (3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25 \] 2. **Setze die entwickelten Quadrate in die Gleichung ein**: \[ (25 - 20x + 4x^2) + (4x^2 + 4x + 1) = (9x^2 - 30x + 25) - 14 \] 3. **Fasse die linke Seite zusammen**: \[ 25 + 1 + 25 - 14 = 37 \] \[ 4x^2 + 4x^2 - 20x + 4x = 8x^2 - 16x + 26 \] 4. **Fasse die rechte Seite zusammen**: \[ 9x^2 - 30x + 11 \] 5. **Setze die beiden Seiten gleich**: \[ 8x^2 - 16x + 26 = 9x^2 - 30x + 11 \] 6. **Bringe alle Terme auf eine Seite**: \[ 0 = 9x^2 - 30x + 11 - 8x^2 + 16x - 26 \] \[ 0 = x^2 - 14x - 15 \] 7. **Faktorisieren oder die Mitternachtsformel anwenden**: \[ x^2 - 14x - 15 = (x - 15)(x + 1) = 0 \] 8. **Löse die Gleichung**: \[ x - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 15 \] \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] Die Lösungen der Gleichung sind \(x = 15\) und \(x = -1\).

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).

Accepted Answer

Gegeben: - 12 verschiedene Quadrate - Ein 3x4-Raster (also 12 Felder) - Jedes Quadrat kann in 4 Orientierungen (0°, 90°, 180°, 270°) platziert werden - Jedes Quadrat wird genau... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben: - 12 verschiedene Quadrate - Ein 3x4-Raster (also 12 Felder) - Jedes Quadrat kann in 4 Orientierungen (0°, 90°, 180°, 270°) platziert werden - Jedes Quadrat wird genau einmal verwendet **Gesucht:** Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die 12 Quadrate auf dem Raster zu platzieren, wobei jedes Quadrat beliebig gedreht werden kann? --- ### Schritt 1: Anordnen der Quadrate Die 12 Quadrate können auf 12 Feldern in beliebiger Reihenfolge angeordnet werden. Das sind **12!** Möglichkeiten. ### Schritt 2: Drehen der Quadrate Jedes Quadrat kann unabhängig von den anderen in 4 verschiedenen Orientierungen platziert werden. Für jedes Quadrat gibt es also 4 Möglichkeiten, insgesamt also \(4^{12}\) Möglichkeiten. ### Schritt 3: Gesamte Möglichkeiten Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten ist das Produkt aus beiden Schritten: \[ \text{Gesamt} = 12! \times 4^{12} \] --- **Rechenweg:** - \(12! = 479.001.600\) - \(4^{12} = 16.777.216\) \[ \text{Gesamt} = 479.001.600 \times 16.777.216 = 8.040.691.878.912.000 \] --- **Antwort:** Es gibt **8.040.691.878.912.000** verschiedene Möglichkeiten, die 12 Quadrate auf einem 3x4-Raster anzuordnen, wenn jedes Quadrat beliebig um 0°, 90°, 180° oder 270° gedreht werden kann. Der Rechenweg ist: \(12! \times 4^{12}\).

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut... [mehr]

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitution“. Zum Beispiel, wenn du die Funktion \( f(x) = x^2 \) hast und sie in die Gleichung \( y = 3 + f(x) \) einbauen möchtest, schreibst du: \( y = 3 + x^2 \) Wenn du eine komplexere Gleichung hast, wie zum Beispiel \( y = 2 \cdot f(x) + 5 \), setzt du ebenfalls die Funktion an die Stelle von \( f(x) \): \( y = 2 \cdot x^2 + 5 \) Falls du eine Funktion in eine andere Funktion einsetzt (Funktionsverkettung), zum Beispiel \( g(x) = \sin(x) \) und \( f(x) = x^2 \), dann ist \( g(f(x)) = \sin(x^2) \). Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir zeigen, wie du es einsetzt. Generell gilt: Ersetze einfach die Funktionsvariable durch den gewünschten Ausdruck oder die Funktion.

Accepted Answer

Um die Gleichung \(-1,25x^2 + 5 = 0\) nach \(x\) aufzulösen, gehe wie folgt vor: **1. Gleichung aufstellen:** \[ -1{,}25x^2 + 5 = 0 \] **2. Subtrahiere 5 auf beiden Seiten:** \[ -1{,}25x^2 = -5... [mehr]

Accepted Answer

Um die Gleichung \(-1,25x^2 + 5 = 0\) nach \(x\) aufzulösen, gehe wie folgt vor: **1. Gleichung aufstellen:** \[ -1{,}25x^2 + 5 = 0 \] **2. Subtrahiere 5 auf beiden Seiten:** \[ -1{,}25x^2 = -5 \] **3. Teile beide Seiten durch \(-1{,}25\):** \[ x^2 = \frac{-5}{-1{,}25} \] \[ x^2 = 4 \] **4. Ziehe die Quadratwurzel:** \[ x = \pm \sqrt{4} \] \[ x = \pm 2 \] **Lösung:** \[ x_1 = 2 \quad \text{und} \quad x_2 = -2 \]

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **... [mehr]

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **unbestimmte Integral** einer Funktion zu bestimmen. Das Ergebnis ist dann die **Stammfunktion**. Wenn du zum Beispiel die Gleichung \( f(x) = 2x \) hast, dann kannst du das unbestimmte Integral von \( f(x) \) berechnen, also \( \int 2x \, dx = x^2 + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Man sagt also: - „Die Funktion \( f(x) \) integrieren“ - „Das unbestimmte Integral von \( f(x) \) bestimmen“ - „Die Stammfunktion von \( f(x) \) berechnen“ Der Begriff „transferieren“ wird in diesem Zusammenhang nicht verwendet.

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Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

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Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

Kategorie: Mathematik Tags: Gleichung Malnehmen Unbekannte

Accepted Answer

Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenw... [mehr]

Accepted Answer

Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenweg: 1. **Starte mit der Gleichung:** \[ 8 = \frac{1}{3^x} \] 2. **Beide Seiten mit \( 3^x \) multiplizieren:** \[ 8 \cdot 3^x = 1 \] 3. **Beide Seiten durch 8 teilen:** \[ 3^x = \frac{1}{8} \] 4. **Beide Seiten logarithmieren (z.B. mit dem natürlichen Logarithmus):** \[ \ln(3^x) = \ln\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x \cdot \ln(3) = -\ln(8) \] \[ x = \frac{-\ln(8)}{\ln(3)} \] 5. **Alternativ: Schreibe \( \frac{1}{8} \) als \( 8^{-1} \) und setze \( 3^x = 8^{-1} \):** \[ 3^x = 8^{-1} \] \[ 3^x = (2^3)^{-1} \] \[ 3^x = 2^{-3} \] 6. **Logarithmiere beide Seiten (z.B. mit Logarithmus zur Basis 3):** \[ x = \log_3(2^{-3}) \] \[ x = -3 \cdot \log_3(2) \] 7. **Jetzt möchtest du zu \( x^3 = \frac{1}{8} \) kommen.** Das ist eine andere Gleichung, die du erhältst, wenn du die ursprüngliche Gleichung umstellst, indem du beide Seiten mit der dritten Wurzel versiehst: \[ 3^x = \frac{1}{8} \] \[ x = \log_3\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x = \log_3(8^{-1}) = -\log_3(8) \] Jetzt betrachte die Gleichung \( x^3 = \frac{1}{8} \): \[ x^3 = \frac{1}{8} \] \[ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} \] \[ x = \frac{1}{2} \] **Fazit:** Um von \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umstellen, dass \( 3^x = \frac{1}{8} \) gilt, und dann die Variable \( x \) als Basis einer Potenz schreiben, sodass \( x^3 = \frac{1}{8} \) entsteht. Das ist mathematisch gesehen ein Umstellen der Gleichung und ein Wechsel der Variablenrolle. **Zusammengefasst:** Du stellst die Gleichung so um, dass die Variable \( x \) auf einer Seite als Basis mit Exponent 3 steht und auf der anderen Seite \( \frac{1}{8} \) ist. Das ist eine Umformung durch Potenzgesetze und Umstellen der Gleichung.