A) 4 mal 70 ergibt 280. Das Produkt heißt 280. B) 90 mal 3 ergibt 270. Das Produkt ist 270. C) Das Produkt ist 420, der erste Faktor ist 6. Der zweite Faktor ist 420 geteilt durch 6 also 70.
Finde alle geordneten Paare natürlicher Zahlen größer als 0, deren Produkt 8 Mal so groß ist wie ihre Summe.
AntwortUm die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \) zu finden, die die Bedingung erfüllen, dass ihr Produkt \( xy \) genau 8 mal so groß ist wie ihre Summe \( x + y \), können wir die Gleichung aufstellen: \[ xy = 8(x + y) \] Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite: \[ xy - 8x - 8y = 0 \] Wir können die Gleichung umformen: \[ xy - 8x - 8y + 64 = 64 \] Das lässt sich als Produkt faktorisieren: \[ (x - 8)(y - 8) = 64 \] Nun müssen wir die positiven Teiler von 64 finden, da \( x - 8 \) und \( y - 8 \) natürliche Zahlen sein müssen. Die positiven Teiler von 64 sind: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Für jeden Teiler \( d \) von 64 setzen wir \( x - 8 = d \) und \( y - 8 = \frac{64}{d} \). Daraus ergeben sich die folgenden Paare: 1. \( d = 1 \): \( x - 8 = 1 \) → \( x = 9 \), \( y - 8 = 64 \) → \( y = 72 \) → Paar: \( (9, 72) \) 2. \( d = 2 \): \( x - 8 = 2 \) → \( x = 10 \), \( y - 8 = 32 \) → \( y = 40 \) → Paar: \( (10, 40) \) 3. \( d = 4 \): \( x - 8 = 4 \) → \( x = 12 \), \( y - 8 = 16 \) → \( y = 24 \) → Paar: \( (12, 24) \) 4. \( d = 8 \): \( x - 8 = 8 \) → \( x = 16 \), \( y - 8 = 8 \ → \( y = 16 \) → Paar: \( (16, 16) \) 5. \( d = 16 \): \( x - 8 = 16 \) → \( x = 24 \), \( y - 8 = 4 \) → \( y = 12 \) → Paar: \( (24, 12) \) 6. \( d = 32 \): \( x - 8 = 32 \) → \( x = 40 \), \( y - 8 = 2 \) → \( y = 10 \) → Paar: \( (40, 10) \) 7. \( d = 64 \): \( x - 8 = 64 \) → \( x = 72 \), \( y - 8 = 1 \) → \( y = 9 \) → Paar: \( (72, 9) \) Die geordneten Paare natürlicher Zahlen \( (x, y) \), deren Produkt genau 8 mal so groß ist wie ihre Summe, sind somit: \[ (9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 12), (40, 10), (72, 9) \]
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