Für n ∈ N und a > 0 existiert genau ein x ∈ R mit x > 0, so dass x^n = a.

Um zu beweisen, dass es für \( a > 0 \) genau ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x > 0 \) und \( x^n = a \) gibt, gehen wir wie folgt vor: 1. **Existenz**: Wir zeigen zunächst, dass es mindestens ein solches \( x \) gibt. Betrachte die Funktion \( f(x) = x^n \) für \( x > 0 \). Diese Funktion ist für \( x > 0 \) stetig und streng monoton wachsend, da die Ableitung \( f'(x) = n x^{n-1} > 0 \) für \( x > 0 \) ist. Da \( f(0) = 0^n = 0 \) und \( f(x) \to \infty \) für \( x \to \infty \), folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass es ein \( x > 0 \) gibt, sodass \( f(x) = a \). Das bedeutet, es existiert mindestens ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x > 0 \) und \( x^n = a \). 2. **Eindeutigkeit**: Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an, es gäbe zwei positive Zahlen \( x_1 \) und \( x_2 \) mit \( x_1^n = a \) und \( x_2^n = a \). Dann gilt: \[ x_1^n = x_2^n. \] Da \( f(x) = x^n \) eine streng monotone Funktion ist, folgt aus \( x_1^n = x_2^n \), dass \( x_1 = x_2 \). Somit haben wir gezeigt, dass es genau ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x > 0 \) gibt, sodass \( x^n = a \). Zusammenfassend: Für \( a > 0 \) existiert genau ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x > 0 \) und \( x^n = a \).