Zeige, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen finden lassen, deren Summe durch 3 teilbar ist.

Um zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, nutzen wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als Schubfachprinzip).

Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Klassen fällt:

- Klasse 0: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 haben.
- Klasse 1: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben.
- Klasse 2: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 haben.

Wenn wir fünf natürliche Zahlen betrachten, gibt es nur drei Klassen (Rest 0, Rest 1, Rest 2). Nach dem Schubfachprinzip müssen mindestens zwei der fünf Zahlen in einer der drei Klassen liegen, da wir mehr Zahlen (5) als Klassen (3) haben.

Es gibt nun zwei Fälle zu betrachten:

1. **Fall 1:** Es gibt mindestens drei Zahlen in einer der Klassen (Rest 0, Rest 1 oder Rest 2). In diesem Fall können wir diese drei Zahlen auswählen, und ihre Summe ist durch 3 teilbar, da sie alle den gleichen Rest haben.

2. **Fall 2:** Es gibt zwei Zahlen in einer Klasse und zwei Zahlen in einer anderen Klasse, und eine Zahl in der dritten Klasse. Zum Beispiel:
- 2 Zahlen mit Rest 0
- 2 Zahlen mit Rest 1
- 1 Zahl mit Rest 2

In diesem Fall können wir eine Zahl aus der Klasse mit Rest 0 und zwei Zahlen aus der Klasse mit Rest 1 auswählen. Die Summe dieser drei Zahlen hat den Rest \(0 + 1 + 1 = 2\) (nicht durch 3 teilbar).

Allerdings können wir auch zwei Zahlen aus der Klasse mit Rest 0 und eine Zahl aus der Klasse mit Rest 2 auswählen. Die Summe dieser drei Zahlen hat den Rest \(0 + 0 + 2 = 2\) (nicht durch 3 teilbar).

Aber wir können auch zwei Zahlen aus der Klasse mit Rest 1 und eine Zahl aus der Klasse mit Rest 2 auswählen. Die Summe hat den Rest \(1 + 1 + 2 = 4\) (Rest 1 bei Division durch 3, also nicht durch 3 teilbar).

In jedem Fall, egal wie die Zahlen verteilt sind, wird es immer möglich sein, drei Zahlen auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.

Somit haben wir gezeigt, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist.