Wie unterscheiden sich die Auswirkungen der Transformation bei Funktionen abhängig vom Vorzeichen der Zahl b?

Question

Wie unterscheiden sich die Auswirkungen der Transformation bei Funktionen abhängig vom Vorzeichen der Zahl b?

Antwort

Verwandte Fragen

-cos(x) abgeleitet?

Was ist eine spannende Idee zur Einführung in Funktionen?

Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Accepted Answer

Die Auswirkungen der Transformation einer Funktion, insbesondere bei der Verschiebung entlang der y-Achse, hängen stark vom Vorzeichen der Zahl \( b \) ab. Hier sind die Unterschiede: 1. **Positive Verschiebung (\( b > 0 \))**: Wenn du eine Funktion \( f(x) \) um \( b \) nach oben verschiebst, erhältst du die neue Funktion \( f(x) + b \). Dies bedeutet, dass jeder Punkt der ursprünglichen Funktion um \( b \) Einheiten nach oben verschoben wird. Die gesamte Kurve steigt, was zu höheren Funktionswerten führt. 2. **Negative Verschiebung (\( b < 0 \))**: Bei einer negativen Verschiebung, also wenn \( b \) negativ ist, wird die Funktion \( f(x) \) um \( |b| \) nach unten verschoben, was die neue Funktion \( f(x) + b \) ergibt. Hierbei wird jeder Punkt der ursprünglichen Funktion um \( |b| \) Einheiten nach unten verschoben, was zu niedrigeren Funktionswerten führt. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Vorzeichen von \( b \) entscheidend dafür ist, ob die Funktion nach oben (positiv) oder nach unten (negativ) verschoben wird.

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

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Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten... [mehr]

Accepted Answer

Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten“. Stelle dir vor, du wirfst eine Münze in einen Automaten und wählst ein Getränk aus. Für jede Eingabe (Münze + Auswahl) gibt der Automat genau ein Getränk aus. Das ist wie bei einer Funktion: Jeder Eingabewert (x) wird eindeutig einem Ausgabewert (f(x)) zugeordnet. Du kannst das Thema interaktiv gestalten, indem du die Lernenden eigene „Automaten-Funktionen“ erfinden lässt (z.B. „Was passiert, wenn ich eine 2 eingebe?“) oder sie verschiedene Automaten vergleichen lässt (z.B. Automaten, die für dieselbe Eingabe unterschiedliche Ausgaben liefern – das wäre dann keine Funktion). So wird das abstrakte Konzept greifbar und die Bedeutung von „eindeutiger Zuordnung“ verständlich.

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Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).