Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut...
Ist 1/(3+x^2) kleiner oder gleich c?
Antwort vomUm die Ungleichung \( \frac{1}{3+x^2} \leq c \) zu lösen, kannst du die folgenden Schritte durchführen: 1. **Umformung der Ungleichung**: Multipliziere beide Seiten der Ungleichung mit \( 3 + x^2 \) (dies ist immer positiv, da \( x^2 \geq 0 \)): \[ 1 \leq c(3 + x^2) \] 2. **Umstellen**: Dies führt zu: \[ 1 \leq 3c + cx^2 \] oder umgeformt: \[ cx^2 + 3c - 1 \geq 0 \] 3. **Betrachten der quadratischen Funktion**: Die Ungleichung \( cx^2 + 3c - 1 \geq 0 \) ist eine quadratische Funktion in Bezug auf \( x \). Der Ausdruck ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, wenn \( c > 0 \). 4. **Diskriminantenanalyse**: Um die Lösungen zu finden, kannst du die Diskriminante \( D \) der quadratischen Gleichung \( cx^2 + 3c - 1 = 0 \) berechnen: \[ D = (3c)^2 - 4c(0) = 9c^2 \] Die Parabel schneidet die x-Achse, wenn \( D \geq 0 \), also wenn \( c > 0 \). 5. **Lösungen**: Wenn \( c > 0 \), gibt es zwei Lösungen für \( x \), und die Ungleichung ist erfüllt außerhalb des Intervalls, das durch diese Lösungen definiert ist. Zusammenfassend hängt die Lösung von \( c \) ab. Wenn \( c \leq 0 \), ist die Ungleichung für alle \( x \) erfüllt. Wenn \( c > 0 \), musst du die spezifischen Werte von \( c \) betrachten, um die genauen Intervalle für \( x \) zu bestimmen, in denen die Ungleichung gilt.
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