4 Fragen zu Supremum

Um die Menge aller oberen Schranken und das Supremum der Menge \( M = \left\{ \frac{1}{3 + x^2} \mid x \in \mathbb{R} \right\} \) zu bestimmen, analysieren wir die Funktion \( f(x) = \frac{1}{3 + x^2} \). 1. **Bestimmung der oberen Schranken:** - Die Funktion \( f(x) \) ist für alle \( x \in \mathbb{R} \) definiert und nimmt positive Werte an, da der Nenner \( 3 + x^2 \) immer größer als 3 ist. - Der Wert von \( f(x) \) erreicht sein Maximum, wenn der Nenner minimal ist. Der Nenner \( 3 + x^2 \) ist minimal, wenn \( x^2 = 0 \), also bei \( x = 0 \). - An dieser Stelle ist \( f(0) = \frac{1}{3 + 0^2} = \frac{1}{3} \). 2. **Verhalten der Funktion:** - Für \( |x| \to \infty \) geht \( f(x) \) gegen 0, da der Nenner \( 3 + x^2 \) immer größer wird. - Daher ist \( f(x) \) für alle \( x \) immer kleiner oder gleich \( \frac{1}{3} \). 3. **Menge der oberen Schranken:** - Eine obere Schranke \( u \) für die Menge \( M \) muss die Bedingung \( u \geq f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) erfüllen. - Da \( f(x) \leq \frac{1}{3} \) für alle \( x \), ist jede Zahl \( u \geq \frac{1}{3} \) eine obere Schranke. - Somit ist die Menge aller oberen Schranken \( \{ u \in \mathbb{R} \mid u \geq \frac{1}{3} \} \). 4. **Supremum:** - Das Supremum von \( M \) ist die kleinste obere Schranke. Da \( \frac{1}{3} \) eine obere Schranke ist und für \( x = 0 \) erreicht wird, ist das Supremum von \( M \) gleich \( \frac{1}{3} \). Zusammenfassend ergibt sich: - Die Menge aller oberen Schranken ist \( \{ u \in \mathbb{R} \mid u \geq \frac{1}{3} \} \). - Das Supremum von \( M \) ist \( \frac{1}{3} \).

Um das Supremum der Funktion \( f(x) = \frac{1}{3 + x^2} \) zu bestimmen, betrachten wir den Wertebereich der Funktion. 1. **Analyse der Funktion**: Die Funktion ist für alle \( x \in \mathbb{R} \) definiert, da der Nenner \( 3 + x^2 \) immer positiv ist (da \( x^2 \geq 0 \) für alle reellen Zahlen \( x \)). 2. **Verhalten der Funktion**: Wenn \( x \) gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) geht, dann geht \( x^2 \) gegen \( \infty \) und somit \( f(x) \) gegen \( 0 \). 3. **Maximalwert**: Der Wert von \( f(x) \) ist maximal, wenn der Nenner minimal ist. Der Nenner \( 3 + x^2 \) hat sein Minimum bei \( x = 0 \): \[ f(0) = \frac{1}{3 + 0^2} = \frac{1}{3}. \] 4. **Supremum**: Da die Funktion für alle anderen \( x \) Werte kleiner als \( \frac{1}{3} \) annimmt und gegen \( 0 \) strebt, ist das Supremum der Funktion \( f(x) \) gleich \( \frac{1}{3} \). Zusammenfassend ist das Supremum von \( \frac{1}{3 + x^2} \) gleich \( \frac{1}{3} \).

Um die Menge aller oberen Schranken und das Supremum der Menge \( M = \left\{ \frac{1}{3 + x^2} \mid x \in \mathbb{R} \right\} \) zu bestimmen, analysieren wir die Funktion \( f(x) = \frac{1}{3 + x^2} \). 1. **Bestimmung der oberen Schranken:** - Die Funktion \( f(x) \) ist für alle \( x \in \mathbb{R} \) definiert und nimmt positive Werte an, da der Nenner \( 3 + x^2 \) immer größer als 0 ist. - Um die oberen Schranken zu finden, betrachten wir den Wert von \( f(x) \) für verschiedene \( x \): - Wenn \( x = 0 \), dann ist \( f(0) = \frac{1}{3} \). - Für \( |x| \to \infty \) (d.h. \( x \) wird sehr groß oder sehr klein), geht \( f(x) \) gegen 0, da der Nenner \( 3 + x^2 \) sehr groß wird. - Der Wert \( f(x) \) erreicht sein Maximum bei \( x = 0 \) und hat dort den Wert \( \frac{1}{3} \). Für alle anderen \( x \) ist \( f(x) < \frac{1}{3} \). 2. **Menge der oberen Schranken:** - Da \( f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) maximal den Wert \( \frac{1}{3} \) annimmt, sind alle Zahlen \( y \) mit \( y \geq \frac{1}{3} \) obere Schranken für die Menge \( M \). - Die Menge der oberen Schranken ist also \( \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq \frac{1}{3} \} \). 3. **Supremum:** - Das Supremum der Menge \( M \) ist der kleinste Wert in der Menge der oberen Schranken. Da \( f(0) = \frac{1}{3} \) und für alle anderen \( x \) gilt \( f(x) < \frac{1}{3} \), ist das Supremum von \( M \) gleich \( \frac{1}{3} \). Zusammenfassend ist die Menge aller oberen Schranken \( \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq \frac{1}{3} \} \) und das Supremum der Menge \( M \) ist \( \frac{1}{3} \).

Um zu zeigen, dass \( \sup(A) \leq \inf(B) \) gilt, wenn \( a \leq b \) für alle \( a \in A \) und \( b \in B \), gehen wir wie folgt vor: 1. **Definitionen**: - Der Supremum \( \sup(A) \) ist die kleinste obere Schranke von \( A \). Das bedeutet, dass für jedes \( a \in A \) gilt: \( a \leq \sup(A) \). - Der Infimum \( \inf(B) \) ist die größte untere Schranke von \( B \). Das bedeutet, dass für jedes \( b \in B \) gilt: \( \inf(B) \leq b \). 2. **Beweis**: - Da \( a \leq b \) für alle \( a \in A \) und \( b \in B \) gilt, folgt, dass \( a \) eine obere Schranke für \( B \) ist. - Insbesondere gilt für \( \sup(A) \), dass \( \sup(A) \) eine obere Schranke für alle \( a \in A \) ist. Das bedeutet, dass \( \sup(A) \) auch eine obere Schranke für \( B \) ist, da für jedes \( b \in B \) gilt: \( b \geq a \) für alle \( a \in A \). - Da \( \inf(B) \) die größte untere Schranke von \( B \) ist, muss es gelten, dass \( \inf(B) \leq b \) für alle \( b \in B \). Da \( \sup(A) \) eine obere Schranke für \( B \) ist, folgt, dass \( \sup(A) \) nicht kleiner sein kann als die größte untere Schranke von \( B \). 3. **Schlussfolgerung**: - Daraus folgt, dass \( \sup(A) \leq \inf(B) \). Somit haben wir gezeigt, dass \( \sup(A) \leq \inf(B) \) gilt, wenn \( a \leq b \) für alle \( a \in A \) und \( b \in B \).