Um die Menge aller oberen Schranken und das Supremum der Menge \( M = \left\{ \frac{1}{3 + x^2} \mid x \in \mathbb{R} \right\} \) zu bestimmen, analysieren wir die Funktion \( f(x) = \frac{1}{3 + x^2} \). 1. **Bestimmung der oberen Schranken:** - Die Funktion \( f(x) \) ist für alle \( x \in \mathbb{R} \) definiert und nimmt positive Werte an, da der Nenner \( 3 + x^2 \) immer größer als 3 ist. - Der Wert von \( f(x) \) erreicht sein Maximum, wenn der Nenner minimal ist. Der Nenner \( 3 + x^2 \) ist minimal, wenn \( x^2 = 0 \), also bei \( x = 0 \). - An dieser Stelle ist \( f(0) = \frac{1}{3 + 0^2} = \frac{1}{3} \). 2. **Verhalten der Funktion:** - Für \( |x| \to \infty \) geht \( f(x) \) gegen 0, da der Nenner \( 3 + x^2 \) immer größer wird. - Daher ist \( f(x) \) für alle \( x \) immer kleiner oder gleich \( \frac{1}{3} \). 3. **Menge der oberen Schranken:** - Eine obere Schranke \( u \) für die Menge \( M \) muss die Bedingung \( u \geq f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) erfüllen. - Da \( f(x) \leq \frac{1}{3} \) für alle \( x \), ist jede Zahl \( u \geq \frac{1}{3} \) eine obere Schranke. - Somit ist die Menge aller oberen Schranken \( \{ u \in \mathbb{R} \mid u \geq \frac{1}{3} \} \). 4. **Supremum:** - Das Supremum von \( M \) ist die kleinste obere Schranke. Da \( \frac{1}{3} \) eine obere Schranke ist und für \( x = 0 \) erreicht wird, ist das Supremum von \( M \) gleich \( \frac{1}{3} \). Zusammenfassend ergibt sich: - Die Menge aller oberen Schranken ist \( \{ u \in \mathbb{R} \mid u \geq \frac{1}{3} \} \). - Das Supremum von \( M \) ist \( \frac{1}{3} \).