Supremum von \frac{1}{3+x^2}?

Um das Supremum der Funktion \( f(x) = \frac{1}{3 + x^2} \) zu bestimmen, betrachten wir den Wertebereich der Funktion.

1. **Analyse der Funktion**: Die Funktion ist für alle \( x \in \mathbb{R} \) definiert, da der Nenner \( 3 + x^2 \) immer positiv ist (da \( x^2 \geq 0 \) für alle reellen Zahlen \( x \)).

2. **Verhalten der Funktion**: Wenn \( x \) gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) geht, dann geht \( x^2 \) gegen \( \infty \) und somit \( f(x) \) gegen \( 0 \).

3. **Maximalwert**: Der Wert von \( f(x) \) ist maximal, wenn der Nenner minimal ist. Der Nenner \( 3 + x^2 \) hat sein Minimum bei \( x = 0 \):
\[
f(0) = \frac{1}{3 + 0^2} = \frac{1}{3}.
\]

4. **Supremum**: Da die Funktion für alle anderen \( x \) Werte kleiner als \( \frac{1}{3} \) annimmt und gegen \( 0 \) strebt, ist das Supremum der Funktion \( f(x) \) gleich \( \frac{1}{3} \).

Zusammenfassend ist das Supremum von \( \frac{1}{3 + x^2} \) gleich \( \frac{1}{3} \).