Um die Menge aller oberen Schranken und das Supremum der Menge \( M = \left\{ \frac{1}{3 + x^2} \mid x \in \mathbb{R} \right\} \) zu bestimmen, analysieren wir die Funktion \( f(x) = \frac{1}{3 + x^2} \). 1. **Bestimmung der oberen Schranken:** - Die Funktion \( f(x) \) ist für alle \( x \in \mathbb{R} \) definiert und nimmt positive Werte an, da der Nenner \( 3 + x^2 \) immer größer als 0 ist. - Um die oberen Schranken zu finden, betrachten wir den Wert von \( f(x) \) für verschiedene \( x \): - Wenn \( x = 0 \), dann ist \( f(0) = \frac{1}{3} \). - Für \( |x| \to \infty \) (d.h. \( x \) wird sehr groß oder sehr klein), geht \( f(x) \) gegen 0, da der Nenner \( 3 + x^2 \) sehr groß wird. - Der Wert \( f(x) \) erreicht sein Maximum bei \( x = 0 \) und hat dort den Wert \( \frac{1}{3} \). Für alle anderen \( x \) ist \( f(x) < \frac{1}{3} \). 2. **Menge der oberen Schranken:** - Da \( f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) maximal den Wert \( \frac{1}{3} \) annimmt, sind alle Zahlen \( y \) mit \( y \geq \frac{1}{3} \) obere Schranken für die Menge \( M \). - Die Menge der oberen Schranken ist also \( \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq \frac{1}{3} \} \). 3. **Supremum:** - Das Supremum der Menge \( M \) ist der kleinste Wert in der Menge der oberen Schranken. Da \( f(0) = \frac{1}{3} \) und für alle anderen \( x \) gilt \( f(x) < \frac{1}{3} \), ist das Supremum von \( M \) gleich \( \frac{1}{3} \). Zusammenfassend ist die Menge aller oberen Schranken \( \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq \frac{1}{3} \} \) und das Supremum der Menge \( M \) ist \( \frac{1}{3} \).