4 Fragen zu Richtungsvektoren

Um zu bestimmen, ob die beiden Richtungsvektoren parallel sind, kannst du überprüfen, ob einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Die beiden Vektoren sind: \[ \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \] Wenn die Vektoren parallel sind, gibt es eine Konstante \( k \), sodass: \[ \mathbf{v_1} = k \cdot \mathbf{v_2} \] Das bedeutet, dass die Komponenten der Vektoren in einem konstanten Verhältnis zueinander stehen müssen. Vergleiche die Komponenten: 1. \( -1 = k \cdot 1 \) → \( k = -1 \) 2. \( -3 = k \cdot 3 \) → \( k = -1 \) 3. \( 2 = k \cdot (-2) \) → \( k = -1 \) Da für alle drei Komponenten der gleiche Wert für \( k \) gefunden wurde, sind die Vektoren parallel.

Um zu überprüfen, ob der Punkt mit dem Ortsvektor \((-27, -27, 11)\) auf der Geraden \(h\) liegt, die durch die Richtungsvektoren \((3, 3, -1)\) und \((9, 9, -3)\) definiert ist, müssen wir zunächst die Gleichung der Geraden aufstellen. Da die Richtungsvektoren parallel sind, können wir einen der beiden verwenden. Wir nehmen den Richtungsvektor \((3, 3, -1)\) und einen Punkt auf der Geraden, den wir als \((x_0, y_0, z_0)\) bezeichnen. Wenn wir annehmen, dass die Gerade durch den Ursprung verläuft, lautet die Gleichung der Geraden in Parameterform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \] Das bedeutet: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t \\ 3t \\ -t \end{pmatrix} \] Um zu überprüfen, ob der Punkt \((-27, -27, 11)\) auf dieser Geraden liegt, setzen wir die Koordinaten in die Gleichungen ein: 1. \(x = 3t \Rightarrow -27 = 3t \Rightarrow t = -9\) 2. \(y = 3t \Rightarrow -27 = 3t \Rightarrow t = -9\) 3. \(z = -t \Rightarrow 11 = -t \Rightarrow t = -11\) Da die Werte für \(t\) nicht übereinstimmen (wir erhalten \(t = -9\) für \(x\) und \(y\), aber \(t = -11\) für \(z\)), liegt der Punkt \((-27, -27, 11)\) nicht auf der Geraden \(h\).

Um zu bestimmen, ob die beiden Vektoren \( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} \) parallel sind, kannst du prüfen, ob einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Der zweite Vektor kann als \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \) geschrieben werden, da: \[ 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot (-1) = -3 \] Da der zweite Vektor ein Vielfaches des ersten Vektors ist, sind die beiden Vektoren parallel.

Um zu bestimmen, ob die Vektoren \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) parallel sind, kann man prüfen, ob einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Ein Vektor \( \mathbf{a} \) ist parallel zu einem Vektor \( \mathbf{b} \), wenn es eine skalare Zahl \( k \) gibt, sodass \( \mathbf{a} = k \cdot \mathbf{b} \). In diesem Fall: 1. Der erste Vektor ist \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \). 2. Der zweite Vektor ist \( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \). Da der erste Vektor in der x- und y-Richtung 0 ist, kann er nicht als Vielfaches des zweiten Vektors dargestellt werden, der in beiden Richtungen nicht null ist. Daher sind die Vektoren **nicht parallel**.