16 Fragen zu Primfaktoren

Um zu entscheiden, ob die Produkte \(48 \times 84\) und \(12 \times 8 \times 42\) gleich sind, zerlege beide Ausdrücke in ihre Primfaktoren. Zerlegung von \(48\): \[ 48 = 2^4 \times 3 \] Zerlegung von \(84\): \[ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \] Das Produkt \(48 \times 84\) ergibt: \[ 48 \times 84 = (2^4 \times 3) \times (2^2 \times 3 \times 7) = 2^{4+2} \ ^{1+1} \times 7 = 2^6times 3^2 \times 7 \] Zerlegung von \(12\): \[ 12 = 2^2 \times 3 \] Zerlegung von \(8\): \[ 8 = 2^3 \] Zerlegung von \(42\): \[ 42 = 2 \times 3 \times 7 \] Das Produkt \(12 \times 8 \times 42\) ergibt: \[ 12 \times 8 \times 42 = (2^2 \times 3) \times (2^3) \times (2 \times 3 \times 7) = 2^{2+3+1} \times 3^{1+1} \times 7 = 26 \times 3^2 \times 7 \] Da beide Produkte die gleiche Primfaktorzerlegung \(2^6 \times 3^2 \times 7\) haben, sind sie gleich.

Die dreistellige Quadratzahl, die nur die Prim-Faktoren 2 und 3 hat, ist 144. 144 = 12² und 12 = 2² * 3.

Nein, die Aussage ist nicht wahr. Wenn eine Zahl \( a \) in zwei verschiedene Primfaktoren \( p \) und \( q \) zerlegbar ist, dann hat \( a \) die Form \( a = p^m \cdot q^n \), wobei \( m \) und \( n \) natürliche Zahlen sind. Die Anzahl der Teiler einer solchen Zahl \( a \) wird durch das Produkt der Exponenten der Primfaktoren, jeweils um eins erhöht, bestimmt. Das heißt, die Anzahl der Teiler von \( a \) ist \((m+1) \cdot (n+1)\). Um zu überprüfen, ob die Aussage wahr ist, müssen wir die maximal mögliche Anzahl der Teiler berechnen. Wenn \( m \) und \( n \) beide gleich 9 sind, dann hat \( a \) die Form \( a = p^9 \cdot q^9 \). Die Anzahl der Teiler wäre dann \((9+1) \cdot (9+1) = 10 \cdot 10 = 100\). Daher kann eine Zahl, die in zwei verschiedene Primfaktoren zerlegbar ist, mehr als 20 Teiler haben. Die Aussage ist somit falsch.

Die Primfaktorzerlegung von 60 ist 2 × 2 × 3 × 5, oder in Exponentialform: \(2^2 \times 3^1 \times 5^1\).

Die Zahl 200 kann in ihre Primfaktoren zerlegt werden, indem man sie schrittweise durch die kleinsten Primzahlen teilt: 1. 200 ist gerade, also teilen wir durch 2: \( 200 \div 2 = 100 \) 2. 100 ist ebenfalls gerade, also teilen wir wieder durch 2: \( 100 \div 2 = 50 \) 3. 50 ist auch gerade, also teilen wir erneut durch 2: \( 50 \div 2 = 25 \) 4. 25 ist nicht mehr gerade, aber es ist durch 5 teilbar: \( 25 \div 5 = 5 \) 5. Schließlich teilen wir 5 durch 5: \( 5 \div 5 = 1 \) Die Primfaktorzerlegung von 200 ist somit: \( 200 = 2^3 \times 5^2 \) Das bedeutet, die Primfaktoren von 200 sind 2 und 5, wobei 2 dreimal und 5 zweimal vorkommt.

Die Zahl 108 kann in ihre Primfaktoren zerlegt werden, indem man sie schrittweise durch die kleinsten Primzahlen dividiert: 1. 108 ist gerade, also teilen wir durch 2: \( 108 \div 2 = 54 \2. 54 ist ebenfalls gerade, also teilen wir wieder durch 2: \( 54 \div = 27 \) 3. 27 ist ungerade, also teilen wir durch die nächste Primzahl, 3: \( 27 \div 3 = 9 \) 4. 9 teilen wir erneut durch 3: \( 9 \div 3 = 3 \) 5. Schließlich teilen wir 3 durch 3: \( 3 \div 3 = 1 \) Die Primfaktorzerlegung von 108 ist somit: \( 108 = 2^2 \times 3^3 \)

Die Primfaktoren von 36 sind 2 und 3 Die Zerlegung von 36 in Primfaktoren ist: \(36 = 2^2 \times 3^2\).

Um 21 in Primfaktoren zu zerlegen, kannst du die Teilbarkeitsregeln anwenden. 1. Überprüfe, ob 21 durch 2 teilbar ist. Da 21 ungerade ist, ist es nicht durch 2 teilbar. 2. Überprüfe die Teilbarkeit durch 3. Die Quersumme von 21 (2 + 1 = 3) ist durch 3 teilbar, also ist auch 21 durch 3 teilbar. - 21 ÷ 3 = 7 3. Nun hast du 3 und 7. Beide Zahlen sind Primzahlen. Die Primfaktorzerlegung von 21 ist also: \( 3 \times 7 \).

Die Hauptsicherheit des RSA-Algorithmus beruht darauf, dass es extrem schwierig ist, die beiden großen Primfaktoren \( p \) und \( q \) zu finden, wenn das Produkt \( n = p \times q \) bekannt ist. Während die Multiplikation von zwei großen Primzahlen relativ einfach ist, ist die Faktorisierung eines großen Produkts in seine Primfaktoren ein rechenintensives Problem, das mit der Zeit exponentiell schwieriger wird, je größer die Primzahlen sind. Dies ist der Grund, warum RSA als sicher gilt, solange die verwendeten Schlüssel groß genug sind (typischerweise mindestens 2048 Bit).

Die Hauptsicherheit des RSA-Algorithmus liegt nicht darin, dass es praktisch unmöglich ist, die beiden Primfaktoren \( p \) und \( q \) zu finden, wenn sie sehr klein sind, sondern vielmehr darin, dass es extrem schwierig ist, diese Faktoren zu finden, wenn sie sehr groß sind. RSA basiert auf der mathematischen Schwierigkeit der Faktorisierung großer zusammengesetzter Zahlen. Während es für kleine Zahlen relativ einfach ist, die Faktoren zu bestimmen, wird die Faktorisierung von sehr großen Zahlen (typischerweise mit Hunderte von Dezimalstellen) mit den derzeit bekannten Algorithmen und Rechenressourcen als praktisch unlösbar angesehen. Daher ist die Wahl großer Primzahlen entscheidend für die Sicherheit des RSA-Systems.

Eine Zahl, deren Primfaktoren genau 7, 11 und 13 sind, ist das Produkt dieser Primzahlen. Das ergibt: \[ 7 \times 11 \times 13 = 1001 \] Die gesuchte Zahl ist also 1001.

Die Primfaktorzerlegung von 48 ist 2^4 * 3^1. Das bedeutet, dass 48 in die Primfaktoren 2 und 3 zerlegt werden kann, wobei 2 viermal und 3 einmal vorkommt.

Die Zerlegung von 192 in Primfaktoren erfolgt wie folgt: 1. Teile 192 durch 2 (die kleinste Primzahl): - 192 ÷ 2 = 96 2. Teile 96 durch 2: - 96 ÷ 2 = 48 3. Teile 48 durch 2: - 48 ÷ 2 = 24 4. Teile 24 durch 2: - 24 ÷ 2 = 12 5. Teile 12 durch 2: - 12 ÷ 2 = 6 6. Teile 6 durch 2: - 6 ÷ 2 = 3 7. 3 ist eine Primzahl. Die vollständige Zerlegung von 192 in Primfaktoren ist also: \[ 192 = 2^6 \times 3^1 \]

Die Zahl 400 kann in Primfaktoren zerlegt werden. Die Zerlegung ist wie folgt: 400 = 2^4 × 5^2 Das bedeutet, dass 400 aus vier Zweien und zwei Fünfen besteht.

Die Primfaktorzerlegung von 72 ist 2^3 * 3^2. Das bedeutet, dass 72 in die Primfaktoren 2 und 3 zerlegt werden kann, wobei 2 dreimal und 3 zweimal vorkommt.