7 Fragen zu Determinante

Nein, die Determinante und die Eigenwerte einer Matrix sind nicht dasselbe, obwohl sie beide wichtige Eigenschaften einer Matrix beschreiben. - **Determinante**: Die Determinante einer Matrix ist ein einzelner Wert, der bestimmte Eigenschaften der Matrix zusammenfasst. Sie gibt unter anderem an, ob die Matrix invertierbar ist (eine Determinante von Null bedeutet, dass die Matrix nicht invertierbar ist). Die Determinante kann auch als Volumenfaktor interpretiert werden, der beschreibt, wie die Matrix den Raum skaliert. - **Eigenwerte**: Eigenwerte sind spezielle Skalare, die mit einer Matrix verbunden sind. Sie geben an, wie die Matrix Vektoren in bestimmte Richtungen skaliert. Für eine gegebene Matrix \(A\) sind die Eigenwerte die Lösungen der charakteristischen Gleichung \(\det(A - \lambda I) = 0\), wobei \(\lambda\) die Eigenwerte und \(I\) die Einheitsmatrix ist. Zusammengefasst: Die Determinante ist ein einzelner Wert, während Eigenwerte eine Menge von Werten sind, die die Skalierungsfaktoren in bestimmten Richtungen angeben.

Um die Determinante des gegebenen Systems von Gleichungen zu bestimmen, müssen wir zuerst die Koeffizientenmatrix aufstellen. Die Gleichungen sind: 1. \(5x + y = 2\) 2. \(y = 7x - 22\) Zuerst bringen wir die zweite Gleichung in die Standardform: \(7x - y = 22\) Jetzt haben wir das System: 1. \(5x + y = 2\) (Gleichung 1) 2. \(7x - y = 22\) (Gleichung 2) Die Koeffizientenmatrix \(A\) ist dann: \[ A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 7 & -1 \end{pmatrix} \] Die Determinante \(det(A)\) wird berechnet als: \[ det(A) = (5 \cdot -1) - (1 \cdot 7) = -5 - 7 = -12 \] Die Determinante des Systems ist also \(-12\).

Um das Gleichungssystem zu lösen, du die beiden Gleich aufstellen und dann Werte für \(x\) und \(y\). Die Gleichungen sind: 1. \(x + 5y 38\) 2. \(y = 6x + 1\) Setze die zweite Gleichung in die erste ein: \(3x + 5(6x + 1) = \) Das vereinfacht sich zu: \(3x + 30x + 5 = 38\) Kombiniere die \(x\)-Terme: \(33x + 5 = 38\) Subtrahiere 5 von beiden Seiten: \(33x = 33\) Teile durch 33: \(x = 1\) Setze \(x = 1\) in die zweite Gleichung ein, um \(y\) zu finden: \(y = 6(1) + 1 = 6 + 1 = 7\) Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \(x = 1\) und \(y = 7\).

Um die Determinante eines 2x2-Systems zu berechnen, das in der Form \( ax + by = c \) dargestellt wird, kannst du die Koeffizientenmatrix verwenden. Für das gegebene System: 1. \( 7x + 32y = 13 \) 2. \( 9x + 8y = 83 \) Die Koeffizientenmatrix ist: \[ \begin{pmatrix} 7 & 32 \\ 9 & 8 \end{pmatrix} \] Die Determinante \( \text{det}(A) \) einer 2x2-Matrix \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) wird berechnet mit der Formel: \[ \text{det}(A) = ad - bc \] In diesem Fall: - \( a = 7 \) - \( b = 32 \) - \( c = 9 \) - \( d = 8 \) Setze die Werte in die Formel ein: \[ \text{det}(A) = (7 \cdot 8) - (32 \cdot 9) = 56 - 288 = -232 \] Die Determinante des Systems ist also \(-232\).

Eine Determinante der 6. Ordnung hat insgesamt \( \binom{6}{k} \) Unterdeterminanten für jede mögliche Ordnung \( k \) von 1 bis 6. Die Anzahl der Unterdeterminanten ist also die Summe der Binomialkoeffizienten für \( k = 1 \) bis \( k = 6 \): \[ \sum_{k=1}^{6} \binom{6}{k} = \binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6} = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 \] Somit hat eine Determinante 6. Ordnung insgesamt 63 Unterdeterminanten.

Um die Determinante der Matrix \( A \) durch Entwicklung nach der dritten Zeile zu berechnen, folge diesen Schritten: Die Matrix \( A \) ist: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & p & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] Die Determinante \( \det(A) \) wird durch die Entwicklung nach der dritten Zeile berechnet. Die dritte Zeile ist \( (1, 0, 0, 3) \). \[ \det(A) = 1 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 3 \cdot C_{34} \] Hierbei ist \( C_{ij} \) das Cofaktor-Element, das durch das Entfernen der \( i \)-ten Zeile und der \( j \)-ten Spalte entsteht, multipliziert mit \((-1)^{i+j}\). Berechne die Cofaktoren: 1. \( C_{31} \): \[ C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1)^4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} \] Die Determinante der 3x3-Matrix: \[ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \] \[ = 2 \cdot (4 \cdot (-1) - 0 \cdot 4) - 4 \cdot (2 \cdot (-1) -0 \cdot 2) + 1 \cdot (2 \cdot 4 - 2 \cdot 4) \] \[ = 2 \cdot (-4) - 4 \cdot (-2) + 1 \cdot (8 - 8) \] \[ = -8 + 8 + 0 = 0 \] Also, \( C_{31} = 0 \). 2. \( C_{32} \) und \( C_{33} \) sind nicht relevant, da sie mit 0 multipliziert werden. 3. \( C_{34} \): \[ C_{34} = (-1)^{3+4} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & p \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1)^7 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & p \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & p \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} \] Die Determinante der 3x3-Matrix: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & p \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + p \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \

Um die Determinante einer 3x3-Matrix zu berechnen, kannst du die Regel von Sarrus verwenden. Die Matrix, die du angegeben hast, ist: \[ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ \frac{5}{3} & -\frac{1}{5} & 1 \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix} \] Die Regel von Sarrus besagt, dass die Determinante einer 3x3-Matrix \(A\) mit den Elementen \(a_{ij}\) wie folgt berechnet wird: \[ \text{det}(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \] Setze die Elemente der Matrix in die Formel ein: \[ \text{det}(A) = (-1) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} - 0 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \frac{2}{3} - (-1) \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \] Berechne die einzelnen Terme: \[ = (-1) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} + 0 - 0 - (-1) \cdot \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \] \[ = \left(-1 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}\right) + \frac{2}{3} + 0 - 0 + \frac{2}{5} + \left(-\frac{5}{3} \cdot -\frac{3}{2}\right) \] \[ = -\frac{3}{10} + \frac{2}{3} + \frac{2}{5} + \frac{15}{6} \] Bringe alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (30): \[ = -\frac{9}{30} + \frac{20}{30} + \frac{12}{30} + \frac{75}{30} \] \[ = \frac{-9 + 20 + 12 + 75}{30} \] \[ = \frac{98}{30} \] \[ = \frac{49}{15} \] Die Determinante der gegebenen Matrix ist also \(\frac{49}{15}\).