det (-1 1 0 / 5/3 -1/5 1 / 2/3 2/5 -3/2)?

Um die Determinante einer 3x3-Matrix zu berechnen, kannst du die Regel von Sarrus verwenden. Die Matrix, die du angegeben hast, ist:

\[
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
\frac{5}{3} & -\frac{1}{5} & 1 \\
\frac{2}{3} & \frac{2}{5} & -\frac{3}{2}
\end{pmatrix}
\]

Die Regel von Sarrus besagt, dass die Determinante einer 3x3-Matrix \(A\) mit den Elementen \(a_{ij}\) wie folgt berechnet wird:

\[
\text{det}(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}
\]

Setze die Elemente der Matrix in die Formel ein:

\[
\text{det}(A) = (-1) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} - 0 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \frac{2}{3} - (-1) \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)
\]

Berechne die einzelnen Terme:

\[
= (-1) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} + 0 - 0 - (-1) \cdot \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)
\]

\[
= \left(-1 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}\right) + \frac{2}{3} + 0 - 0 + \frac{2}{5} + \left(-\frac{5}{3} \cdot -\frac{3}{2}\right)
\]

\[
= -\frac{3}{10} + \frac{2}{3} + \frac{2}{5} + \frac{15}{6}
\]

Bringe alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (30):

\[
= -\frac{9}{30} + \frac{20}{30} + \frac{12}{30} + \frac{75}{30}
\]

\[
= \frac{-9 + 20 + 12 + 75}{30}
\]

\[
= \frac{98}{30}
\]

\[
= \frac{49}{15}
\]

Die Determinante der gegebenen Matrix ist also \(\frac{49}{15}\).