Determinate der Matrix A (1 2 p 1 / 2 4 1 0 / 1 0 0 3 / 2 4 -1 0) durch Entwickeln der 3. Zeile?

Um die Determinante der Matrix \( A \) durch Entwicklung nach der dritten Zeile zu berechnen, folge diesen Schritten:

Die Matrix \( A \) ist:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & p & 1 \\
2 & 4 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 3 \\
2 & 4 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\]

Die Determinante \( \det(A) \) wird durch die Entwicklung nach der dritten Zeile berechnet. Die dritte Zeile ist \( (1, 0, 0, 3) \).

\[
\det(A) = 1 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 3 \cdot C_{34}
\]

Hierbei ist \( C_{ij} \) das Cofaktor-Element, das durch das Entfernen der \( i \)-ten Zeile und der \( j \)-ten Spalte entsteht, multipliziert mit \((-1)^{i+j}\).

Berechne die Cofaktoren:

1. \( C_{31} \):
\[
C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & 0 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
= (-1)^4 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & 0 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
= 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & 0 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
\]

Die Determinante der 3x3-Matrix:
\[
\begin{vmatrix}
2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & 0 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
= 2 \cdot \begin{vmatrix}
4 & 0 \\
4 & -1
\end{vmatrix}
- 4 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
2 & -1
\end{vmatrix}
+ 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 \\
2 & 4
\end{vmatrix}
\]

\[
= 2 \cdot (4 \cdot (-1) - 0 \cdot 4) - 4 \cdot (2 \cdot (-1) -0 \cdot 2) + 1 \cdot (2 \cdot 4 - 2 \cdot 4)
\]
\[
= 2 \cdot (-4) - 4 \cdot (-2) + 1 \cdot (8 - 8)
\]
\[
= -8 + 8 + 0 = 0
\]

Also, \( C_{31} = 0 \).

2. \( C_{32} \) und \( C_{33} \) sind nicht relevant, da sie mit 0 multipliziert werden.

3. \( C_{34} \):
\[
C_{34} = (-1)^{3+4} \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & p \\
2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
= (-1)^7 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & p \\
2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
= -1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & p \\
2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
\]

Die Determinante der 3x3-Matrix:
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & p \\
2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
= 1 \cdot \begin{vmatrix}
4 & 1 \\
4 & -1
\end{vmatrix}
- 2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
2 & -1
\end{vmatrix}
+ p \cdot \begin{vmatrix}
2 & 4 \\
2 & 4
\