Wie schnell kann eine Kugel maximal zur Erde fallen, wenn die Atmosphäre berücksichtigt wird, und beeinflusst die Dichte des Materials die Fallgeschwindigkeit?

Die maximale Geschwindigkeit, mit der eine Kugel zur Erde fallen kann, wird als **Endgeschwindigkeit** oder **Terminalgeschwindigkeit** bezeichnet. Diese Geschwindigkeit stellt sich ein, wenn die nach unten wirkende Gewichtskraft der Kugel durch den Luftwiderstand (und ggf. Auftrieb) genau ausgeglichen wird – ab diesem Punkt beschleunigt die Kugel nicht weiter.

**Einfluss der Atmosphäre:**
Ohne Atmosphäre (im Vakuum) würde jede Kugel – unabhängig von Form, Größe oder Material – mit der gleichen Beschleunigung (9,81 m/s²) fallen und immer schneller werden, bis sie auf dem Boden auftrifft. In der Atmosphäre jedoch bremst der Luftwiderstand die Kugel ab.

**Formel für die Endgeschwindigkeit:**
Die Endgeschwindigkeit \( v_{E} \) einer Kugel ergibt sich aus dem Gleichgewicht von Gewichtskraft und Luftwiderstand:

\[
v_{E} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho_{L} c_{w} A}}
\]

- \( m \): Masse der Kugel
- \( g \): Erdbeschleunigung (ca. 9,81 m/s²)
- \( \rho_{L} \): Dichte der Luft (ca. 1,2 kg/m³ auf Meereshöhe)
- \( c_{w} \): Luftwiderstandsbeiwert (für eine Kugel ca. 0,47)
- \( A \): Querschnittsfläche der Kugel (\( \pi r^2 \))

**Bedeutung der Materialdichte:**
Die Dichte des Materials beeinflusst die Masse der Kugel bei gleichem Durchmesser. Eine Kugel aus Blei ist bei gleichem Durchmesser viel schwerer als eine aus Holz. Da die Masse im Zähler der Formel steht, steigt die Endgeschwindigkeit mit der Masse – und damit mit der Dichte des Materials.

**Beispiel:**
- Eine Bleikugel (hochdicht) mit 1 cm Durchmesser erreicht eine deutlich höhere Endgeschwindigkeit als eine gleich große Holzkugel (niedrigdicht).
- Typische Werte: Eine Bleikugel mit 1 cm Durchmesser erreicht etwa 50–60 m/s, eine gleich große Holzkugel nur etwa 20–30 m/s.

**Maximale Endgeschwindigkeit:**
Die theoretisch maximale Endgeschwindigkeit für eine Kugel in der Erdatmosphäre (bei Meereshöhe) liegt bei sehr dichten und großen Kugeln (z.B. Wolfram, Blei, Eisen, mehrere Zentimeter Durchmesser) im Bereich von etwa 100–200 m/s. Für sehr große Objekte (z.B. Meteoriten) kann die Geschwindigkeit noch höher sein, aber dann spielen weitere Effekte wie Kompression und Verdampfung der Luft eine Rolle.

**Fazit:**
Ja, die Dichte des Materials macht sich deutlich bemerkbar: Je dichter (und damit schwerer) die Kugel bei gleichem Durchmesser, desto höher ist ihre Endgeschwindigkeit beim Fall durch die Atmosphäre. Die maximale Geschwindigkeit ist durch den Luftwiderstand begrenzt und hängt von Masse, Form, Größe und Luftdichte ab.