x^x = 5 mittels Lambert-W lösen?

Um die Gleichung \( x^x = 5 \) mit der Lambert-W-Funktion zu lösen, kannst du die folgenden Schritte befolgen:

1. Nimm den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung:
\[
\ln(x^x) = \ln(5)
\]
Dies vereinfacht sich zu:
\[
x \ln(x) = \ln(5)
\]

2. Um die Gleichung in eine Form zu bringen, die die Lambert-W-Funktion verwendet, setze \( y = \ln(x) \). Dann ist \( x = e^y \) und die Gleichung wird:
\[
e^y y = \ln(5)
\]

3. Multipliziere beide Seiten mit \(-1\):
\[
-y e^{-y} = -\ln(5)
\]

4. Um die Lambert-W-Funktion anzuwenden, forme die Gleichung um:
\[
y e^{-y} = \ln(5)
\]
Dies entspricht der Form \( z e^z = k \), wobei \( z = -y \) und \( k = -\ln(5) \).

5. Wende die Lambert-W-Funktion an:
\[
-y = W(-\ln(5))
\]
Daraus folgt:
\[
y = -W(-\ln(5))
\]

6. Setze \( y \) zurück in die ursprüngliche Variable \( x \):
\[
\ln(x) = -W(-\ln(5))
\]
Daher ist:
\[
x = e^{-W(-\ln(5))}
\]

Das ist die Lösung für \( x \) in Bezug auf die Lambert-W-Funktion.