Würfle 50 Mal mit einem durchnummerierten Sechser-Legostein und berechne die Wahrscheinlichkeit.

Question

Würfle 50 Mal mit einem durchnummerierten Sechser-Legostein und berechne die Wahrscheinlichkeit.

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln mit einem durchnummerierten sechser Legostein zu bestimmen, betrachten wir zunächst die möglichen Ergebnisse. Ein sechser Legostein hat die Zahlen 1 bis 6. Wenn du 50 Mal mit diesem Stein würfelst, gibt es insgesamt \(6^{50}\) mögliche Ergebnisse, da jede der 50 Würfe 6 mögliche Ausgänge hat. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl (z.B. die 1) in einem einzelnen Wurf zu erhalten, beträgt \( \frac{1}{6} \). Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis über mehrere Würfe berechnen möchtest, musst du die Anzahl der gewünschten Ergebnisse durch die Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse teilen. Wenn du also die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis (z.B. dass die Zahl 1 genau 10 Mal in 50 Würfen erscheint) berechnen möchtest, kannst du die Binomialverteilung verwenden. Die Formel dafür lautet: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] wobei: - \(n\) die Anzahl der Würfe (50), - \(k\) die Anzahl der Erfolge (z.B. 10), - \(p\) die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (z.B. \( \frac{1}{6} \)), - \(\binom{n}{k}\) der Binomialkoeffizient ist. Für eine allgemeine Wahrscheinlichkeit über 50 Würfe ist es wichtig, das spezifische Ereignis zu definieren, um die Wahrscheinlichkeit genau zu berechnen.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.