Wichtige Informationen über gebrochen rationale Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen sind Funktionen, die als Quotient zweier Polynome dargestellt werden. Hier sind die wichtigsten Informationen:

1. **Allgemeine Form**: Eine gebrochen rationale Funktion hat die Form \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), wobei \( P(x) \) und \( Q(x) \) Polynome sind.

2. **Definitionsbereich**: Der Definitionsbereich ist die Menge aller \( x \), für die \( Q(x) \neq 0 \). Stellen, an denen \( Q(x) = 0 \), sind nicht im Definitionsbereich enthalten.

3. **Asymptoten**:
- **Vertikale Asymptoten**: Treten an den Stellen auf, wo \( Q(x) = 0 \) (außer wenn auch \( P(x) = 0 \) an dieser Stelle).
- **Horizontale Asymptoten**: Bestimmt durch das Verhalten der Funktion für \( x \to \infty \) oder \( x \to -\infty \):
- Wenn der Grad von \( P \) kleiner ist als der Grad von \( Q \), ist die horizontale Asymptote \( y = 0 \).
- Wenn der Grad von \( P \) gleich dem Grad von \( Q \) ist, ist die horizontale Asymptote \( y = \frac{a}{b} \), wobei \( a \) und \( b \) die höchsten Koeffizienten von \( P \) und \( Q \) sind.
- Wenn der Grad von \( P \) größer ist als der Grad von \( Q \), gibt es keine horizontale Asymptote, sondern möglicherweise eine schräge Asymptote.

4. **Nullstellen**: Die Nullstellen der Funktion sind die Werte von \( x \), für die \( P(x) = 0 \).

5. **Verhalten an den Asymptoten**: Das Verhalten der Funktion in der Nähe der vertikalen Asymptoten kann variieren (z.B. gegen \( +\infty \) oder \( -\infty \)).

6. **Graphische Darstellung**: Der Graph einer gebrochen rationalen Funktion kann Sprünge und asymptotisches Verhalten aufweisen, was die Analyse und das Zeichnen des Graphen beeinflusst.

7. **Anwendungen**: Gebrochen rationale Funktionen finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie z.B. in der Physik, Wirtschaft und Ingenieurwissenschaften, um Verhältnisse und Proportionen darzustellen.

Diese Punkte bieten eine umfassende Übersicht über gebrochen rationale Funktionen und deren Eigenschaften.