Was ist ein Vektorraum?

Ein Vektorraum ist eine grundlegende Struktur in der linearen Algebra, die aus einer Menge von Vektoren besteht, zusammen mit zwei Operationen: Vektoraddition und Skalarmultiplikation. Diese Operationen müssen bestimmten Axiomen genügen, um die Struktur eines Vektorraums zu bilden. Hier sind die wesentlichen Eigenschaften eines Vektorraums:

1. **Abgeschlossenheit der Addition**: Für alle Vektoren \( u \) und \( v \) im Vektorraum ist die Summe \( u + v \) ebenfalls ein Vektor im Vektorraum.
2. **Assoziativität der Addition**: Für alle Vektoren \( u \), \( v \) und \( w \) im Vektorraum gilt \( (u + v) + w = u + (v + w) \).
3. **Kommutativität der Addition**: Für alle Vektoren \( u \) und \( v \) im Vektorraum gilt \( u + v = v + u \).
4. **Existenz des Nullvektors**: Es gibt einen Vektor \( 0 \) im Vektorraum, so dass für jeden Vektor \( v \) im Vektorraum \( v + 0 = v \) gilt.
5. **Existenz des inversen Elements**: Für jeden Vektor \( v \) im Vektorraum gibt es einen Vektor \( -v \), so dass \( v + (-v) = 0 \).
6. **Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation**: Für jeden Vektor \( v \) im Vektorraum und jeden Skalar \( a \) (aus einem zugrunde liegenden Körper, z.B. den reellen Zahlen) ist das Produkt \( a \cdot v \) ebenfalls ein Vektor im Vektorraum.
7. **Distributivität der Skalarmultiplikation bezüglich der Vektoraddition**: Für alle Skalare \( a \) und \( b \) und jeden Vektor \( v \) im Vektorraum gilt \( (a + b) \cdot v = a \cdot v + b \cdot v \).
8. **Distributivität der Skalarmultiplikation bezüglich der Skalarmultiplikation**: Für jeden Skalar \( a \) und alle Vektoren \( u \) und \( v \) im Vektorraum gilt \( a \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v \).
9. **Assoziativität der Skalarmultiplikation**: Für alle Skalare \( a \) und \( b \) und jeden Vektor \( v \) im Vektorraum gilt \( a \cdot (b \cdot v) = (a \cdot b) \cdot v \).
10. **Existenz des Einselements der Skalarmultiplikation**: Für jeden Vektor \( v \) im Vektorraum gilt \( 1 \cdot v = v \), wobei 1 das Einselement des zugrunde liegenden Körpers ist.

Ein klassisches Beispiel für einen Vektorraum ist der Raum der n-dimensionalen reellen Vektoren, \( \mathbb{R}^n \), mit den üblichen Operationen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation.