Zur Definition des euklidischen Raumes gehören neben Stetigkeit und Unendlichkeit vor allem folgende Eigenschaften: 1. **Dimension**: Ein euklidischer Raum ist ein \( n \)-dimensionaler Raum (\( \mathbb{R}^n \)), wobei \( n \) eine natürliche Zahl ist. 2. **Vektorraumstruktur**: Der euklidische Raum ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen. Das bedeutet, es gibt eine wohldefinierte Addition von Vektoren und eine skalare Multiplikation. 3. **Skalarprodukt**: Es existiert ein Skalarprodukt (auch inneres Produkt genannt), das zwei Vektoren zu einer reellen Zahl verknüpft und folgende Eigenschaften erfüllt: Linearität, Symmetrie und Positivdefinitheit. 4. **Metrik (Abstandsbegriff)**: Durch das Skalarprodukt ist eine Metrik definiert, also ein Abstandsbegriff zwischen zwei Punkten: \[ d(x, y) = \|x - y\| = \sqrt{(x-y) \cdot (x-y)} \] 5. **Norm**: Die Norm eines Vektors ergibt sich aus dem Skalarprodukt: \[ \|x\| = \sqrt{x \cdot x} \] 6. **Koordinatensystem**: Jeder Punkt im euklidischen Raum kann durch \( n \) reelle Zahlen (Koordinaten) eindeutig beschrieben werden. Zusammengefasst: Der euklidische Raum ist ein \( n \)-dimensionaler, reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt, das die Längen und Winkel definiert. Stetigkeit und Unendlichkeit sind Eigenschaften, die sich daraus ergeben, sind aber nicht die einzigen definierenden Merkmale.