Was ist das Bayes Theorem?

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Was ist das Bayes Theorem?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Das Bayes-Theorem ist ein fundamentales Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, das beschreibt, wie man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf vorherigen Informationen aktualisieren kann. Es wird häufig in der Statistik, im maschinellen Lernen und in der Entscheidungsfindung verwendet. Das Theorem lautet: \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \] Hierbei gilt: - \( P(A|B) \): Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B (die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B bekannt ist). - \( P(B|A) \): Die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A (die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn A bekannt ist). - \( P(A) \): Die a priori Wahrscheinlichkeit von A (die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, bevor B bekannt ist). - \( P(B) \): Die a priori Wahrscheinlichkeit von B (die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, unabhängig von A). Das Bayes-Theorem ermöglicht es, neue Informationen zu berücksichtigen und die Wahrscheinlichkeiten entsprechend anzupassen.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.