Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne mit 9 Kugeln zweimal die gleiche Farbe zu ziehen?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man aus einer Urne mit 9 Kugeln zweimal die gleiche Farbe zieht, müssen einige Annahmen über die Verteilung der Farben und die Art des Ziehens gemacht werden. Hier ist ein allgemeiner Ansatz:

1. **Annahmen:**
- Es gibt \( n \) verschiedene Farben.
- Jede Farbe hat \( k_i \) Kugeln, wobei \( i \) von 1 bis \( n \) geht und die Summe aller \( k_i \) gleich 9 ist.
- Die Ziehung erfolgt ohne Zurücklegen.

2. **Berechnung:**
- Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel eine bestimmte Farbe hat, ist \( \frac{k_i}{9} \).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel die gleiche Farbe hat, ist \( \frac{k_i - 1}{8} \).

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für jede Farbe:

\[ P = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{k_i}{9} \times \frac{k_i - 1}{8} \right) \]

3. **Beispiel:**
- Angenommen, es gibt 3 Farben (Rot, Blau, Grün) mit Verteilungen \( k_1 = 3 \), \( k_2 = 3 \), \( k_3 = 3 \).

Dann ist die Wahrscheinlichkeit:

\[ P = \left( \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \right) + \left( \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \right) + \left( \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \right) \]
\[ P = 3 \times \left( \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} \right) \]
\[ P = 3 \times \left( \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \right) \]
\[ P = 3 \times \frac{1}{12} \]
\[ P = \frac{3}{12} \]
\[ P = \frac{1}{4} \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass man zweimal die gleiche Farbe zieht, beträgt in diesem Beispiel 25%.