Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Glühbirnen höchstens 2 kaputt sind, wenn durchschnittlich 10% kaputt sind?

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Glühbirnen höchstens 2 kaputt sind, wenn durchschnittlich 10% kaputt sind?

Antwort

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass von 10 Glühbirnen höchstens 2 kaputt sind, wenn durchschnittlich 10% kaputt sind, kann die Binomialverteilung verwendet werden. Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen, wobei jeder Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse hat (Erfolg oder Misserfolg). Die Formel für die Binomialverteilung lautet: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] wobei: - \( n \) die Anzahl der Versuche ist (in diesem Fall 10), - \( k \) die Anzahl der Erfolge (kaputte Glühbirnen) ist, - \( p \) die Erfolgswahrscheinlichkeit (in diesem Fall 0.1) ist, - \( \binom{n}{k} \) der Binomialkoeffizient ist, der berechnet wird als \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 Glühbirnen kaputt sind, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass 0, 1 oder 2 Glühbirnen kaputt sind: \[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] Berechnen wir diese Wahrscheinlichkeiten einzeln: 1. \( P(X = 0) \): \[ P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \approx 0.3487 \] 2. \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.1)^1 (0.9)^9 = 10 \cdot 0.1 \cdot (0.9)^9 \approx 0.3874 \] 3. \( P(X = 2) \): \[ P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.1)^2 (0.9)^8 = 45 \cdot 0.01 \cdot (0.9)^8 \approx 0.1937 \] Nun addieren wir diese Wahrscheinlichkeiten: \[ P(X \leq 2) \approx 0.3487 + 0.3874 + 0.1937 = 0.9298 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Glühbirnen höchstens 2 kaputt sind, beträgt also ungefähr 92.98%.

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Wahrscheinlichkeiten, relative Häufigkeiten und absolute Häufigkeiten sind drei verschiedene Begriffe aus der Statistik, die oft miteinander verwechselt werden. Hier die Unterschiede: **1. Absolute Häufigkeit:** Das ist die Anzahl, wie oft ein bestimmtes Ereignis in einer Stichprobe oder einem Experiment beobachtet wurde. **Beispiel:** In einer Umfrage antworten 30 von 100 Personen mit "Ja". Die absolute Häufigkeit für "Ja" ist 30. **2. Relative Häufigkeit:** Das ist der Anteil eines Ereignisses an der Gesamtzahl der Beobachtungen. Sie wird berechnet, indem man die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl der Beobachtungen teilt. **Formel:** Relative Häufigkeit = Absolute Häufigkeit / Gesamtzahl **Beispiel:** 30 "Ja"-Antworten von 100 Befragten → 30/100 = 0,3 oder 30%. **3. Wahrscheinlichkeit:** Das ist ein theoretischer Wert, der angibt, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Ereignisses ist. Sie wird meist als Zahl zwischen 0 und 1 angegeben. Wahrscheinlichkeiten werden oft auf Basis von Annahmen, Modellen oder bekannten Verteilungen berechnet, nicht direkt gemessen. **Beispiel:** Beim Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit, eine "6" zu werfen, 1/6 ≈ 0,167. **Zusammengefasst:** - **Absolute Häufigkeit:** Wie oft ist etwas passiert? (z.B. 30-mal) - **Relative Häufigkeit:** Wie groß ist der Anteil? (z.B. 30%) - **Wahrscheinlichkeit:** Wie wahrscheinlich ist das Ereignis theoretisch? (z.B. 16,7%) **Wichtiger Unterschied:** Relative Häufigkeiten können als Schätzung für Wahrscheinlichkeiten dienen, wenn viele Versuche durchgeführt wurden (Gesetz der großen Zahlen). Wahrscheinlichkeiten sind aber theoretische Werte, während Häufigkeiten auf tatsächlichen Beobachtungen beruhen.

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **L&o... [mehr]

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **Lösungsschritte:** 1. **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Bei jedem Wurf gibt es 6 Möglichkeiten, also insgesamt \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \) mögliche Ergebnisse. 2. **Günstige Fälle (alle Augenzahlen verschieden):** - Beim ersten Wurf: 6 Möglichkeiten (alle Zahlen sind möglich) - Beim zweiten Wurf: 5 Möglichkeiten (alle außer die vom ersten Wurf) - Beim dritten Wurf: 4 Möglichkeiten (alle außer die ersten beiden) Also: \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \) günstige Fälle. 3. **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen mit einem normalen Würfel alle Augenzahlen verschieden sind, beträgt **\(\frac{5}{9}\)** (ca. 55,56 %).

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Die „1“ bei einer Rechnung der Wahrscheinlichkeit steht für die absolute Sicherheit, dass ein Ereignis eintritt. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Wahrscheinlichkeiten als Zahlen zwischen 0 und 1 angegeben: - **0** bedeutet: Das Ereignis ist unmöglich. - **1** bedeutet: Das Ereignis tritt mit Sicherheit ein. Beispiel: Wenn du einen Würfel wirfst und die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass eine Zahl zwischen 1 und 6 erscheint, ist das eine sichere Sache. Die Wahrscheinlichkeit ist also 1, weil es keine andere Möglichkeit gibt. Mathematisch: P(sicheres Ereignis) = 1 Die „1“ ist also der Maximalwert für Wahrscheinlichkeiten und steht für 100 %.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man beim Würfeln nur verschiedene Augenzahlen erhält, muss zunächst klar sein, **wie viele Würfel** geworfen werden. Da das in deiner Frage nicht angegeben ist, wird meist angenommen, dass mit **sechs Würfeln** geworfen wird (weil ein Würfel sechs Seiten hat). Ich erkläre den Fall für sechs Würfel: **Frage:** Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim gleichzeitigen Wurf von sechs Würfeln jede Augenzahl (1 bis 6) genau einmal vorkommt? --- ### Schritt 1: Gesamtzahl aller Möglichkeiten Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \( 6^6 = 46.656 \) verschiedene Möglichkeiten, sechs Würfel zu werfen. --- ### Schritt 2: Günstige Fälle (jede Augenzahl genau einmal) Wir suchen die Anzahl der Möglichkeiten, wie jede Augenzahl genau einmal vorkommt. Das entspricht der Anzahl der Permutationen der sechs Zahlen: \( 6! = 720 \) --- ### Schritt 3: Wahrscheinlichkeit berechnen Die Wahrscheinlichkeit ist also: \[ P = \frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46.656} \approx 0,0154 \] Das entspricht etwa **1,54 %**. --- **Zusatz:** Wenn du eine andere Anzahl von Würfeln meinst, gib bitte die genaue Zahl an. Dann kann die Wahrscheinlichkeit entsprechend berechnet werden.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.