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Wie lautet die Wachstumsfunktion f bei exponentiellem Wachstum mit f(0) = 5000 und gegebenen Werten f(1) = 5400, f(2) = 4608, f(7) = 4350, f(5) = 5657,04?
Antwort vomUm die Wachstumsfunktion \( f(t) \) für ein exponentielles Wachstum zu bestimmen, wird die allgemeine Form \( f(t) = f(0) \cdot e^{kt} \) verwendet, wobei \( f(0) \) der Anfangswert und \( k \) die Wachstumsrate ist. Gegeben ist \( f(0) = 5000 \). Nun müssen die Werte für \( k \) für die verschiedenen Bedingungen bestimmt werden. a) \( f(1) = 5400 \) Setze \( t = 1 \) und \( f(1) = 5400 \) in die Gleichung ein: \[ 5400 = 5000 \cdot e^k \] Löse nach \( k \) auf: \[ e^k = \frac{5400}{5000} \] \[ e^k = 1,08 \] \[ k = \ln(1,08) \approx 0,07696 \] Die Wachstumsfunktion ist: \[ f(t) = 5000 \cdot e^{0,07696t} \] b) \( f(2) = 4608 \) Setze \( t = 2 \) und \( f(2) = 4608 \) in die Gleichung ein: \[ 4608 = 5000 \cdot e^{2k} \] Löse nach \( k \) auf: \[ e^{2k} = \frac{4608}{5000} \] \[ e^{2k} = 0,9216 \] \[ 2k = \ln(0,9216) \] \[ k = \frac{\ln(0,9216)}{2} \approx -0,0412 \] Die Wachstumsfunktion ist: \[ f(t) = 5000 \cdot e^{-0,0412t} \] c) \( f(7) = 4350 \) Setze \( t = 7 \) und \( f(7) = 4350 \) in die Gleichung ein: \[ 4350 = 5000 \cdot e^{7k} \] Löse nach \( k \) auf: \[ e^{7k} = \frac{4350}{5000} \] \[ e^{7k} = 0,87 \] \[ 7k = \ln(0,87) \] \[ k = \frac{\ln(0,87)}{7} \approx -0,0201 \] Die Wachstumsfunktion ist: \[ f(t) = 5000 \cdot e^{-0,0201t} \] d) \( f(5) = 5657,04 \) Setze \( t = 5 \) und \( f(5) = 5657,04 \) in die Gleichung ein: \[ 5657,04 = 5000 \cdot e^{5k} \] Löse nach \( k \) auf: \[ e^{5k} = \frac{5657,04}{5000} \] \[ e^{5k} = 1,131408 \] \[ 5k = \ln(1,131408) \] \[ k = \frac{\ln(1,131408)}{5} \approx 0,0246 \] Die Wachstumsfunktion ist: \[ f(t) = 5000 \cdot e^{0,0246t} \]
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