Welches Vorzeichen haben f(100000) und f(-100000) für f(x) = x^3 - 0,025x^4? Überprüfen mit Grenzwerten.

Question

Welches Vorzeichen haben f(100000) und f(-100000) für f(x) = x^3 - 0,025x^4? Überprüfen mit Grenzwerten.

Antwort

Verwandte Fragen

Wie erkenne ich, ob das Ergebnis beim Rechnen mit negativen rationalen Zahlen plus oder minus ist?

Was bedeuten Minus, -4, Plus, Plus-Minus in der Mathematik?

-2x^4 mal -3x^-3 berechnen

Wie werden die Vorzeichen beim Laplace-Entwicklungssatz korrekt übertragen?

Was ist eine ganzrationale Funktion?

Accepted Answer

Um das Vorzeichen von \( f(100000) \) und \( f(-100000) \) zu bestimmen, betrachten wir die Funktion \( f(x) = x^3 - 0,025x^4 \). 1. **Berechnung von \( f(100000) \)**: \[ f(100000) = (100000)^3 - 0,025 \cdot (100000)^4 \] \[ = 10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} \] \[ = 10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} = 10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = 10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = 7,5 \cdot 10^{14} \] Das Vorzeichen von \( f(100000) \) ist positiv. 2. **Berechnung von \( f(-100000) \)**: \[ f(-100000) = (-100000)^3 - 0,025 \cdot (-100000)^4 \] \[ = -10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} \] \[ = -10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = -10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = -1,25 \cdot 10^{15} \] Das Vorzeichen von \( f(-100000) \) ist negativ. 3. **Grenzwertbetrachtung**: Um das Verhalten von \( f(x) \) für große positive und negative Werte zu überprüfen, betrachten wir den Grenzwert: - Für \( x \to +\infty \): \[ f(x) = x^3 - 0,025x^4 \approx -0,025x^4 \quad (\text{da } x^4 \text{ dominant ist}) \] Der Grenzwert ist \( -\infty \). - Für \( x \to -\infty \): \[ f(x) = x^3 - 0,025x^4 \approx -0,025x^4 \quad (\text{da } x^4 \text{ dominant ist}) \] Der Grenzwert ist ebenfalls \( -\infty \). Zusammenfassend hat \( f(100000) \) ein positives Vorzeichen und \( f(-100000) \) ein negatives Vorzeichen.

Accepted Answer

Um zu bestimmen, ob das Ergebnis einer Rechnung mit rationalen Zahlen (also Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, einschließlich negativer Zahlen) positiv oder negativ ist, gibt... [mehr]

Accepted Answer

Um zu bestimmen, ob das Ergebnis einer Rechnung mit rationalen Zahlen (also Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, einschließlich negativer Zahlen) positiv oder negativ ist, gibt es klare Regeln: **1. Addition und Subtraktion:** - **Gleiches Vorzeichen:** Addiere die Beträge und behalte das Vorzeichen. Beispiel: \(-3 + (-5) = -8\) - **Verschiedene Vorzeichen:** Ziehe den kleineren Betrag vom größeren ab und nimm das Vorzeichen des größeren Betrags. Beispiel: \(7 + (-10) = -3\) (weil 10 > 7 und das größere Vorzeichen ist negativ) **2. Multiplikation und Division:** - **Gleiches Vorzeichen (beide positiv oder beide negativ):** Das Ergebnis ist **positiv**. Beispiel: \((-4) \times (-2) = 8\) - **Verschiedene Vorzeichen (eins positiv, eins negativ):** Das Ergebnis ist **negativ**. Beispiel: \(5 \times (-3) = -15\) **Merksatz:** Bei Multiplikation und Division gilt: - **Minus mal Minus gibt Plus** - **Minus mal Plus gibt Minus** **Zusammengefasst:** - Bei Addition/Subtraktion: Auf die Beträge und das größere Vorzeichen achten. - Bei Multiplikation/Division: Gleiches Vorzeichen = Plus, verschiedenes Vorzeichen = Minus. Weitere Beispiele oder eine konkrete Rechnung kannst du gerne angeben, dann kann das Prinzip direkt angewendet werden.

Accepted Answer

Die Begriffe „minus und -4+ plus plus und plus minus“ wirken auf den ersten Blick etwas verwirrend, da sie nicht in einem mathematisch klaren Zusammenhang stehen. Hier eine Erklärung... [mehr]

Accepted Answer

Die Begriffe „minus und -4+ plus plus und plus minus“ wirken auf den ersten Blick etwas verwirrend, da sie nicht in einem mathematisch klaren Zusammenhang stehen. Hier eine Erklärung der einzelnen Begriffe: 1. **Minus**: Das ist das Rechenzeichen „−“ und steht für Subtraktion oder eine negative Zahl. 2. **-4+**: Das ist nicht ganz eindeutig. Es könnte bedeuten: „Minus vier plus ...“ – also eine negative Zahl, zu der etwas addiert wird. Zum Beispiel: -4 + 3 = -1. 3. **Plus plus**: Das ist kein standardmäßiger mathematischer Ausdruck. In der Mathematik gibt es das nicht, aber in der Programmierung steht „++“ oft für eine Erhöhung um 1 (Inkrement). Im mathematischen Alltag könnte es einfach bedeuten: „plus und nochmal plus“, also eine Addition. 4. **Plus minus**: Das Zeichen „±“ steht für „plus oder minus“. Es wird verwendet, um zwei mögliche Werte auszudrücken, z. B. „5 ± 2“ bedeutet „5 + 2“ und „5 - 2“, also 7 und 3. **Zusammengefasst:** - „Minus“ ist das Subtraktionszeichen oder ein negatives Vorzeichen. - „-4+“ bedeutet meist, dass zu -4 etwas addiert wird. - „Plus plus“ ist kein mathematischer Begriff, könnte aber für wiederholtes Addieren stehen. - „Plus minus“ (±) steht für zwei mögliche Werte, einmal mit Plus, einmal mit Minus. Wenn du einen konkreten mathematischen Ausdruck oder eine Aufgabe hast, kann ich das gerne genauer erklären.

Accepted Answer

Um den Ausdruck \(-2x^4 \cdot (-3x^{-3})\) zu vereinfachen, gehe wie folgt vor: 1. Multipliziere die Zahlen: \(-2 \cdot -3 = 6\) 2. Multipliziere die Potenzen mit gleicher Basis (x): \(x^4 \cd... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \(-2x^4 \cdot (-3x^{-3})\) zu vereinfachen, gehe wie folgt vor: 1. Multipliziere die Zahlen: \(-2 \cdot -3 = 6\) 2. Multipliziere die Potenzen mit gleicher Basis (x): \(x^4 \cdot x^{-3} = x^{4 + (-3)} = x^{1}\) Das ergibt: \[ -2x^4 \cdot (-3x^{-3}) = 6x \]

Accepted Answer

Beim Laplace-Entwicklungssatz (auch Entwicklungssatz nach Laplace) zur Berechnung der Determinante einer Matrix ist das Vorzeichen sehr wichtig. Es wird durch das sogenannte **Vorzeichenmuster** besti... [mehr]

Accepted Answer

Beim Laplace-Entwicklungssatz (auch Entwicklungssatz nach Laplace) zur Berechnung der Determinante einer Matrix ist das Vorzeichen sehr wichtig. Es wird durch das sogenannte **Vorzeichenmuster** bestimmt. Das Vorzeichen für das Element \( a_{ij} \) (Element in der \( i \)-ten Zeile und \( j \)-ten Spalte) ist immer: \[ (-1)^{i+j} \] **So überträgst du das Vorzeichen:** 1. **Wähle eine Zeile oder Spalte**, entlang der du die Entwicklung machen möchtest. 2. **Für jedes Element** dieser Zeile/Spalte berechnest du das Vorzeichen mit der Formel oben. 3. **Multipliziere** das jeweilige Matrixelement mit seinem Vorzeichen und dem Minor (der Determinante der verbleibenden Untermatrix). **Beispiel (3x3-Matrix, Entwicklung nach der ersten Zeile):** \[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot (+1) \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \cdot ( -1 ) \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \cdot (+1) \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \] Die Vorzeichenfolge in der ersten Zeile ist also: **+ , - , +**. **Merke:** Das Vorzeichenmuster beginnt immer mit + in der linken oberen Ecke und wechselt abwechselnd (wie ein Schachbrett). **Zusammengefasst:** Das Vorzeichen für jedes Element ist \( (-1)^{i+j} \). Dieses Vorzeichen musst du bei der Laplace-Entwicklung immer mit dem jeweiligen Element und seinem Minor multiplizieren.

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Zahlen (die sogenannten Koeffizienten) und n ist eine natürliche Zahl (der Grad des Polynoms). Die Variable x darf nur mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten vorkommen. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder andere Funktionen von x. Beispiele für ganzrationale Funktionen: - f(x) = 2x³ - 5x + 7 (Polynom dritten Grades) - f(x) = x² + 4x + 4 (Polynom zweiten Grades) - f(x) = 5 (Polynom nullten Grades) Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.