Welches Vorzeichen haben f(100000) und f(-100000) für f(x) = x^3 - 0,025x^4? Überprüfen mit Grenzwerten.

Question

Welches Vorzeichen haben f(100000) und f(-100000) für f(x) = x^3 - 0,025x^4? Überprüfen mit Grenzwerten.

Antwort

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Accepted Answer

Um das Vorzeichen von \( f(100000) \) und \( f(-100000) \) zu bestimmen, betrachten wir die Funktion \( f(x) = x^3 - 0,025x^4 \). 1. **Berechnung von \( f(100000) \)**: \[ f(100000) = (100000)^3 - 0,025 \cdot (100000)^4 \] \[ = 10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} \] \[ = 10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} = 10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = 10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = 7,5 \cdot 10^{14} \] Das Vorzeichen von \( f(100000) \) ist positiv. 2. **Berechnung von \( f(-100000) \)**: \[ f(-100000) = (-100000)^3 - 0,025 \cdot (-100000)^4 \] \[ = -10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} \] \[ = -10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = -10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = -1,25 \cdot 10^{15} \] Das Vorzeichen von \( f(-100000) \) ist negativ. 3. **Grenzwertbetrachtung**: Um das Verhalten von \( f(x) \) für große positive und negative Werte zu überprüfen, betrachten wir den Grenzwert: - Für \( x \to +\infty \): \[ f(x) = x^3 - 0,025x^4 \approx -0,025x^4 \quad (\text{da } x^4 \text{ dominant ist}) \] Der Grenzwert ist \( -\infty \). - Für \( x \to -\infty \): \[ f(x) = x^3 - 0,025x^4 \approx -0,025x^4 \quad (\text{da } x^4 \text{ dominant ist}) \] Der Grenzwert ist ebenfalls \( -\infty \). Zusammenfassend hat \( f(100000) \) ein positives Vorzeichen und \( f(-100000) \) ein negatives Vorzeichen.

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

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Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] und \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \] Wenn wir diese beiden Identitäten kombinieren, erhalten wir: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = (A - B)(A^2 + AB + B^2)(A + BA^2 - AB + B^2) \] Das Produkt \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann auch als \((A^6 - B^6)\) geschrieben werden, da es sich um die Differenz der sechsten Potenzen handelt. Zusammenfassend ergibt sich: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = A^6 - B^6 \]

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Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1.... [mehr]

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1. **Betrachte den Grenzwert**: Wir wollen den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) untersuchen, wenn \( x \) gegen unendlich geht: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} \] 2. **Form des Grenzwerts**: Wenn \( x \) gegen unendlich geht, wächst \( e^x \) exponentiell, während \( x^n \) polynomial wächst. Daher hat der Grenzwert die Form \( \frac{\infty}{\infty} \), was die Anwendung der Regel von l'Hôpital rechtfertigt. 3. **Anwendung der Regel von l'Hôpital**: Wir leiten den Zähler und den Nenner ab: - Der Zähler \( x^n \) hat die Ableitung \( n x^{n-1} \). - Der Nenner \( e^x \) hat die Ableitung \( e^x \). Somit erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} \] 4. **Wiederhole die Anwendung**: Da der neue Zähler \( n x^{n-1} \) immer noch ein Polynom ist, können wir die Regel von l'Hôpital erneut anwenden. Nach \( n \) Anwendungen erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \] 5. **Schlussfolgerung**: Da der Grenzwert \( 0 \) ist, folgt, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \implies e^x \text{ wächst schneller als } x^n. \] Damit ist bewiesen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \).

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Um den Ausdruck \((x + 6)(x + 6)\) zu vereinfachen, kannst du die binomische Formel verwenden. Dies ist ein Quadrat eines Binoms, das wie folgt aussieht: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] In deinem... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \((x + 6)(x + 6)\) zu vereinfachen, kannst du die binomische Formel verwenden. Dies ist ein Quadrat eines Binoms, das wie folgt aussieht: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] In deinem Fall ist \(a = x\) und \(b = 6\). Daher ergibt sich: \[ (x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x^2 + 12x + 36 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ x^2 + 12x + 36 \]

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Um den Ausdruck \( x^2 - 6 - (x + 2)(x - 2) + 2x \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne das Produkt \( (x + 2)(x - 2) \): \[ (x + 2)(x - 2 = x^2 4 ] 2. Setze das Ergebnis in... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( x^2 - 6 - (x + 2)(x - 2) + 2x \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne das Produkt \( (x + 2)(x - 2) \): \[ (x + 2)(x - 2 = x^2 4 ] 2. Setze das Ergebnis in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ x^2 - 6 - (x^2 - 4) + 2x \] 3. Vereinfache den Ausdruck: \[ x^2 - 6 - x^2 + 4 + 2x \] 4. Die \( x^2 \) Terme heben sich auf: \[ -6 + 4 + 2x = 2x - 2 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ 2x - 2 \]

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Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^3 + 4x^2 + 3x \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^3 + 4x^2 + 3x = 0 \] Zuerst kann man \( x \) ausklammern: \[ x(x^2 + 4x + 3) = 0... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^3 + 4x^2 + 3x \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^3 + 4x^2 + 3x = 0 \] Zuerst kann man \( x \) ausklammern: \[ x(x^2 + 4x + 3) = 0 \] Das ergibt eine Nullstelle bei \( x = 0 \). Jetzt müssen wir die quadratische Gleichung \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) lösen. Dazu verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = 4 \) und \( c = 3 \): 1. Berechne die Diskriminante: \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] 2. Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2} \] Das ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] Die Nullstellen der Funktion sind also: 1. \( x = 0 \) 2. \( x = -1 \) 3. \( x = -3 \)

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Um den Grenzwert von Exponentialfunktionen (e-Funktionen) zu bestimmen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Identifiziere die Funktion**: Bestimme die Funktion, deren Grenzwert du berechnen m&... [mehr]

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Um den Grenzwert von Exponentialfunktionen (e-Funktionen) zu bestimmen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Identifiziere die Funktion**: Bestimme die Funktion, deren Grenzwert du berechnen möchtest, z.B. \( f(x) = e^{g(x)} \), wobei \( g(x) \) eine Funktion ist, die von \( x \) abhängt. 2. **Bestimme den Grenzwert von \( g(x) \)**: Berechne den Grenzwert von \( g(x) \) für \( x \) gegen einen bestimmten Wert (z.B. \( x \to a \)). Das kann durch direkte Substitution, Faktorisierung oder L'Hôpital's Regel geschehen, falls der Grenzwert eine unbestimmte Form ergibt. 3. **Setze den Grenzwert in die Exponentialfunktion ein**: Wenn der Grenzwert von \( g(x) \) existiert und gleich \( L \) ist, dann gilt: \[ \lim_{x \to a} e^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)} = e^L \] 4. **Berücksichtige spezielle Fälle**: Achte auf spezielle Fälle wie \( g(x) \to \infty \) oder \( g(x) \to -\infty \), da dies den Grenzwert von \( e^{g(x)} \) beeinflusst: - Wenn \( g(x) \to \infty \), dann \( e^{g(x)} \to \infty \). - Wenn \( g(x) \to -\infty \), dann \( e^{g(x)} \to 0 \). 5. **Prüfe die Bedingungen**: Stelle sicher, dass die Bedingungen für die Anwendung der Grenzwertregeln erfüllt sind. Durch diese Schritte kannst du den Grenzwert von e-Funktionen systematisch bestimmen.

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Um den größtmöglichen Radius \( R \) zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) abso... [mehr]

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Um den größtmöglichen Radius \( R \) zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, verwenden wir den Wurzel- oder Quotiententest. Hier ist der Quotiententest anwendbar. Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe: \[ a_k = \frac{k!}{k^k} x^k. \] Wir berechnen den Quotienten \( \frac{a_{k+1}}{a_k} \): \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} x^{k+1} \cdot \frac{k^k}{k! x^k} = \frac{(k+1) k^k}{(k+1)^{k+1}} x = \frac{k^k}{(k+1)^k} x. \] Nun vereinfachen wir den Ausdruck: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \left( \frac{k}{k+1} \right)^k x. \] Für große \( k \) gilt: \[ \left( \frac{k}{k+1} \right)^k = \left( 1 - \frac{1}{k+1} \right)^k \approx e^{-1} \quad \text{(nach dem Grenzwert von } \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \text{)}. \] Somit ergibt sich: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx e^{-1} x. \] Für die Konvergenz der Reihe muss der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 sein: \[ |e^{-1} x| < 1 \implies |x| < e. \] Daraus folgt, dass der Radius der Konvergenz \( R = e \) ist. Das Ergebnis auf drei Nachkommastellen lautet: \[ R \approx 2.718. \]

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Der Grenzwert von \(\frac{e^x}{x}\) für \(x\) gegen 0 ist nicht definiert, da der Ausdruck für \(x = 0\) nicht definiert ist (wir erhalten eine Division durch Null). Wenn du jedoch den Grenz... [mehr]

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Der Grenzwert von \(\frac{e^x}{x}\) für \(x\) gegen 0 ist nicht definiert, da der Ausdruck für \(x = 0\) nicht definiert ist (wir erhalten eine Division durch Null). Wenn du jedoch den Grenzwert für \(x\) gegen unendlich betrachtest, dann gilt: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty \] Das bedeutet, dass der Ausdruck unendlich groß wird, wenn \(x\) immer größer wird.

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Die l'Hospital-Regel kann angewendet werden, wenn du den Grenzwert eines Quotienten von zwei Funktionen untersuchen möchtest und dabei auf eine unbestimmte Form stößt, wie zum Bei... [mehr]

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Die l'Hospital-Regel kann angewendet werden, wenn du den Grenzwert eines Quotienten von zwei Funktionen untersuchen möchtest und dabei auf eine unbestimmte Form stößt, wie zum Beispiel \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{\infty}{\infty} \). Die Regel besagt, dass du den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen der beiden Funktionen betrachten kannst. Das bedeutet, wenn \( \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} \) eine unbestimmte Form ergibt, dann gilt: \[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \] vorausgesetzt, der Grenzwert auf der rechten Seite existiert oder ist unendlich. Du kannst die Regel mehrmals anwenden, falls du weiterhin auf eine unbestimmte Form stößt.