Welches Vorzeichen haben f(100000) und f(-100000) für f(x) = x^3 - 0,025x^4? Überprüfen mit Grenzwerten.

Question

Welches Vorzeichen haben f(100000) und f(-100000) für f(x) = x^3 - 0,025x^4? Überprüfen mit Grenzwerten.

Antwort

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Was ist eine ganzrationale Funktion?

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

(A^3 - b^3)(a^3 + b^3)?

Accepted Answer

Um das Vorzeichen von \( f(100000) \) und \( f(-100000) \) zu bestimmen, betrachten wir die Funktion \( f(x) = x^3 - 0,025x^4 \). 1. **Berechnung von \( f(100000) \)**: \[ f(100000) = (100000)^3 - 0,025 \cdot (100000)^4 \] \[ = 10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} \] \[ = 10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} = 10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = 10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = 7,5 \cdot 10^{14} \] Das Vorzeichen von \( f(100000) \) ist positiv. 2. **Berechnung von \( f(-100000) \)**: \[ f(-100000) = (-100000)^3 - 0,025 \cdot (-100000)^4 \] \[ = -10^{15} - 0,025 \cdot 10^{16} \] \[ = -10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = -10^{15} - 2,5 \cdot 10^{14} = -1,25 \cdot 10^{15} \] Das Vorzeichen von \( f(-100000) \) ist negativ. 3. **Grenzwertbetrachtung**: Um das Verhalten von \( f(x) \) für große positive und negative Werte zu überprüfen, betrachten wir den Grenzwert: - Für \( x \to +\infty \): \[ f(x) = x^3 - 0,025x^4 \approx -0,025x^4 \quad (\text{da } x^4 \text{ dominant ist}) \] Der Grenzwert ist \( -\infty \). - Für \( x \to -\infty \): \[ f(x) = x^3 - 0,025x^4 \approx -0,025x^4 \quad (\text{da } x^4 \text{ dominant ist}) \] Der Grenzwert ist ebenfalls \( -\infty \). Zusammenfassend hat \( f(100000) \) ein positives Vorzeichen und \( f(-100000) \) ein negatives Vorzeichen.

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Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Zahlen (die sogenannten Koeffizienten) und n ist eine natürliche Zahl (der Grad des Polynoms). Die Variable x darf nur mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten vorkommen. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder andere Funktionen von x. Beispiele für ganzrationale Funktionen: - f(x) = 2x³ - 5x + 7 (Polynom dritten Grades) - f(x) = x² + 4x + 4 (Polynom zweiten Grades) - f(x) = 5 (Polynom nullten Grades) Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

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Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A... [mehr]

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Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] und \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \] Wenn wir diese beiden Identitäten kombinieren, erhalten wir: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = (A - B)(A^2 + AB + B^2)(A + BA^2 - AB + B^2) \] Das Produkt \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann auch als \((A^6 - B^6)\) geschrieben werden, da es sich um die Differenz der sechsten Potenzen handelt. Zusammenfassend ergibt sich: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = A^6 - B^6 \]