Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Verhalten der Funktion f(x) = 2x(-x + x^2)?
Antwort vomUm das Verhalten der Funktion \( f(x) = 2x(-x + x^2) \) zu analysieren, können wir die Funktion zunächst vereinfachen: 1. **Vereinfachung der Funktion**: \[ f(x) = 2x(-x + x^2) = 2x(x^2 - x) = 2x^3 - 2x2 \] 2. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setzen wir \( f(x) = 0 \): \[ 2x^3 - 2x^2 = 0 \] Faktorisieren ergibt: \[ 2x^2(x - 1) = 0 \] Die Nullstellen sind \( x = 0 \) und \( x = 1 \). 3. **Extrempunkte**: Um die Extrempunkte zu finden, berechnen wir die erste Ableitung: \[ f'(x) = 6x^2 - 4x \] Setzen wir die Ableitung gleich null: \[ 6x^2 - 4x = 0 \implies 2x(3x - 2) = 0 \] Die kritischen Punkte sind \( x = 0 \) und \( x = \frac{2}{3} \). 4. **Zweite Ableitung**: Um zu bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, berechnen wir die zweite Ableitung: \[ f''(x) = 12x - 4 \] An den kritischen Punkten: - Für \( x = 0 \): \( f''(0) = -4 \) (Maximum) - Für \( x = \frac{2}{3} \): \( f''\left(\frac{2}{3}\right) = 12 \cdot \frac{2}{3} - 4 = 8 \) (Minimum) 5. **Verhalten im Unendlichen**: Da der höchste Exponent der Funktion \( 2x^3 \) ist, geht \( f(x) \) für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) gegen \( \infty \). Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = 2x^3 - 2x^2 \) die Nullstellen \( x = 0 \) und \( x = 1 \), ein Maximum bei \( x = 0 \) und ein Minimum bei \( x = \frac{2}{3} \). Das Verhalten im Unendlichen zeigt, dass die Funktion für große positive und negative Werte von \( x \) gegen \( \infty \) strebt.
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