Für welche x ist die Ungleichung |x+3| + |x+4| < 9 erfüllt mit Rechenweg und Regeln?

Um die Ungleichung \(|x+3| + |x+4| < 9\) zu lösen, müssen die verschiedenen Fälle betrachtet werden, die durch die Nullstellen der Betragsfunktionen entstehen. Die Nullstellen sind \(x = -3\) und \(x = -4\). Diese Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Intervalle:

1. \(x < -4\)
2. \(-4 \leq x < -3\)
3. \(x \geq -3\)

Für jedes dieser Intervalle wird die Ungleichung ohne Betragsstriche betrachtet, da die Vorzeichen der Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche in jedem Intervall konstant sind.

### Fall 1: \(x < -4\)
In diesem Intervall sind sowohl \(x + 3\) als auch \(x + 4\) negativ. Daher gilt:
\[|x+3| = -(x+3)\]
\[|x+4| = -(x+4)\]

Die Ungleichung wird zu:
\[-(x+3) - (x+4) < 9\]
\[-x - 3 - x - 4 < 9\]
\[-2x - 7 < 9\]
\[-2x < 16\]
\[x > -8\]

Da wir uns in diesem Fall im Intervall \(x < -4\) befinden, ist die Lösung für diesen Fall:
\[-8 < x < -4\]

### Fall 2: \(-4 \leq x < -3\)
In diesem Intervall ist \(x + 3\) negativ und \(x + 4\) nicht-negativ. Daher gilt:
\[|x+3| = -(x+3)\]
\[|x+4| = x+4\]

Die Ungleichung wird zu:
\[-(x+3) + (x+4) < 9\]
\[-x - 3 + x + 4 < 9\]
\[1 < 9\]

Diese Ungleichung ist immer wahr, daher ist die Lösung für diesen Fall:
\[-4 \leq x < -3\]

### Fall 3: \(x \geq -3\)
In diesem Intervall sind sowohl \(x + 3\) als auch \(x + 4\) nicht-negativ. Daher gilt:
\[|x+3| = x+3\]
\[|x+4| = x+4\]

Die Ungleichung wird zu:
\[(x+3) + (x+4) < 9\]
\[x + 3 + x + 4 < 9\]
\[2x + 7 < 9\]
\[2x < 2\]
\[x < 1\]

Da wir uns in diesem Fall im Intervall \(x \geq -3\) befinden, ist die Lösung für diesen Fall:
\[-3 \leq x < 1\]

### Gesamtlösung
Die Gesamtlösung ergibt sich aus der Vereinigung der Lösungen der einzelnen Fälle:
\[-8 < x < -4\] oder \[-4 \leq x < -3\] oder \[-3 \leq x < 1\]

Zusammengefasst:
\[-8 < x < 1\]