1 Frage zu Absolutbetrag

Um die Ungleichung \(|x+3| + |x+4| < 9\) zu lösen, müssen die verschiedenen Fälle betrachtet werden, die durch die Nullstellen der Betragsfunktionen entstehen. Die Nullstellen sind \(x = -3\) und \(x = -4\). Diese Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Intervalle: 1. \(x < -4\) 2. \(-4 \leq x < -3\) 3. \(x \geq -3\) Für jedes dieser Intervalle wird die Ungleichung ohne Betragsstriche betrachtet, da die Vorzeichen der Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche in jedem Intervall konstant sind. ### Fall 1: \(x < -4\) In diesem Intervall sind sowohl \(x + 3\) als auch \(x + 4\) negativ. Daher gilt: \[|x+3| = -(x+3)\] \[|x+4| = -(x+4)\] Die Ungleichung wird zu: \[-(x+3) - (x+4) < 9\] \[-x - 3 - x - 4 < 9\] \[-2x - 7 < 9\] \[-2x < 16\] \[x > -8\] Da wir uns in diesem Fall im Intervall \(x < -4\) befinden, ist die Lösung für diesen Fall: \[-8 < x < -4\] ### Fall 2: \(-4 \leq x < -3\) In diesem Intervall ist \(x + 3\) negativ und \(x + 4\) nicht-negativ. Daher gilt: \[|x+3| = -(x+3)\] \[|x+4| = x+4\] Die Ungleichung wird zu: \[-(x+3) + (x+4) < 9\] \[-x - 3 + x + 4 < 9\] \[1 < 9\] Diese Ungleichung ist immer wahr, daher ist die Lösung für diesen Fall: \[-4 \leq x < -3\] ### Fall 3: \(x \geq -3\) In diesem Intervall sind sowohl \(x + 3\) als auch \(x + 4\) nicht-negativ. Daher gilt: \[|x+3| = x+3\] \[|x+4| = x+4\] Die Ungleichung wird zu: \[(x+3) + (x+4) < 9\] \[x + 3 + x + 4 < 9\] \[2x + 7 < 9\] \[2x < 2\] \[x < 1\] Da wir uns in diesem Fall im Intervall \(x \geq -3\) befinden, ist die Lösung für diesen Fall: \[-3 \leq x < 1\] ### Gesamtlösung Die Gesamtlösung ergibt sich aus der Vereinigung der Lösungen der einzelnen Fälle: \[-8 < x < -4\] oder \[-4 \leq x < -3\] oder \[-3 \leq x < 1\] Zusammengefasst: \[-8 < x < 1\]