Was ist die Seitenlänge a bei einem Flächeninhalt von 72,25a?

Question

Was ist die Seitenlänge a bei einem Flächeninhalt von 72,25a?

Antwort

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Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

(A^2 + B^2)²?

(9a + 15b)²?

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Um die Seitenlänge \( a \) eines Quadrats mit einem Flächeninhalt von \( 72,25 \, a^2 \) zu berechnen, verwendest du die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats: \[ A = a^2 \] In diesem Fall ist der Flächeninhalt \( A = 72,25 \). Daher setzt du die Gleichung auf: \[ a^2 = 72,25 \] Um \( a \) zu finden, ziehst du die Quadratwurzel: \[ a = \sqrt{72,25} \] Berechne die Quadratwurzel: \[ a \approx 8,5 \] Die Seitenlänge \( a \) beträgt also ungefähr \( 8,5 \) Einheiten.

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Es gibt keine offiziell anerkannte „längste mathematische Formel der Welt“, da mathematische Formeln je nach Kontext und Notation beliebig lang werden können. Allerdings gibt es... [mehr]

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Es gibt keine offiziell anerkannte „längste mathematische Formel der Welt“, da mathematische Formeln je nach Kontext und Notation beliebig lang werden können. Allerdings gibt es einige bekannte Beispiele für extrem lange Formeln: 1. **Beweis der Kepler-Vermutung**: Der Computerbeweis von Thomas Hales zur Kepler-Vermutung umfasst mehrere Gigabyte an Daten und tausende Seiten an Formeln und Beweisschritten. Die eigentliche „Formel“ ist hier aber eher ein riesiges Konglomerat aus Gleichungen und Beweisschritten als eine einzelne Formel. 2. **Monstergruppe**: Die Charaktertafel der sogenannten Monstergruppe (eine extrem große, sporadische endliche einfache Gruppe) enthält Formeln mit Millionen von Termen. Die vollständige Charaktertafel ist so groß, dass sie in der Praxis nicht ausgeschrieben wird. 3. **Ramanujan’s Identitäten**: Einige der von Srinivasa Ramanujan entdeckten Identitäten sind extrem lang, aber auch sie sind nicht die längsten. 4. **Formeln aus der Quantenfeldtheorie**: In der theoretischen Physik, insbesondere bei Feynman-Diagrammen höherer Ordnung, entstehen Formeln mit tausenden oder Millionen von Summanden. **Fazit:** Es gibt keine einzelne, offiziell anerkannte „längste mathematische Formel“. In der Praxis sind die längsten Formeln meist computer-generiert und entstehen in sehr komplexen mathematischen oder physikalischen Beweisen. Sie sind so umfangreich, dass sie nicht mehr von Hand aufgeschrieben werden können. Weitere Informationen: - [Kepler-Vermutung (Wikipedia)](https://de.wikipedia.org/wiki/Kepler-Vermutung) - [Monstergruppe (Wikipedia)](https://de.wikipedia.org/wiki/Monstergruppe)

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Um einen Term für den Flächeninhalt \( A \) eines Rechtecks in Abhängigkeit von einer Seite aufzustellen, benötigst du die Länge einer Seite (z. B. \( a \)) und einen Ausdruck... [mehr]

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Um einen Term für den Flächeninhalt \( A \) eines Rechtecks in Abhängigkeit von einer Seite aufzustellen, benötigst du die Länge einer Seite (z. B. \( a \)) und einen Ausdruck für die andere Seite (z. B. \( b \)) in Abhängigkeit von \( a \). Allgemein gilt für den Flächeninhalt eines Rechtecks: \[ A = a \cdot b \] Wenn die andere Seite \( b \) in Abhängigkeit von \( a \) gegeben ist, zum Beispiel \( b = f(a) \), dann lautet der Term: \[ A(a) = a \cdot f(a) \] **Beispiel:** Angenommen, der Umfang des Rechtecks ist konstant, z. B. \( U = 20 \). Dann gilt: \[ U = 2a + 2b = 20 \] \[\Rightarrow a + b = 10 \] \[\Rightarrow b = 10 - a \] Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von \( a \) ist dann: \[ A(a) = a \cdot (10 - a) \] **Zusammengefasst:** Stelle die zweite Seite in Abhängigkeit von der ersten auf und setze sie in die Flächenformel ein.

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Die Schreibweise **bin(n, k)** steht meist für den **Binomialkoeffizienten** und wird auch als „n über k“ gelesen. Er gibt an, auf wie viele Arten man aus einer Menge von **n** v... [mehr]

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Die Schreibweise **bin(n, k)** steht meist für den **Binomialkoeffizienten** und wird auch als „n über k“ gelesen. Er gibt an, auf wie viele Arten man aus einer Menge von **n** verschiedenen Objekten **k** Objekte auswählen kann, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Mathematisch wird der Binomialkoeffizient so definiert: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] Dabei ist „!“ das Fakultätszeichen (z. B. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24). **Beispiel:** \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 \] Das bedeutet: Es gibt 10 Möglichkeiten, aus 5 Objekten 2 auszuwählen. Weitere Informationen findest du z. B. bei [Wikipedia: Binomialkoeffizient](https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient).

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Die binomischen Formeln sind drei spezielle Rechenregeln zur Ausmultiplizierung von Klammern mit zwei Gliedern (Binomen). Sie lauten: 1. Erste binomische Formel: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] 2.... [mehr]

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Die binomischen Formeln sind drei spezielle Rechenregeln zur Ausmultiplizierung von Klammern mit zwei Gliedern (Binomen). Sie lauten: 1. Erste binomische Formel: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] 2. Zweite binomische Formel: \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] 3. Dritte binomische Formel: \[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\] Diese Formeln werden als „binomische Formeln“ bezeichnet.

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Gegeben: - Fläche des Schildes: \( A_{\text{Schild}} = 3600\,\text{cm}^2 \) - Das gelbe Quadrat ist halb so lang wie das Schild (gemeint ist: die Seitenlänge des Quadrats ist halb so gro&sz... [mehr]

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Gegeben: - Fläche des Schildes: \( A_{\text{Schild}} = 3600\,\text{cm}^2 \) - Das gelbe Quadrat ist halb so lang wie das Schild (gemeint ist: die Seitenlänge des Quadrats ist halb so groß wie die Seitenlänge des Schildes). **1. Länge des Schildes berechnen:** Das Schild ist quadratisch (da das gelbe Quadrat darin liegt). Sei \( a \) die Seitenlänge des Schildes. \[ a^2 = 3600\,\text{cm}^2 \] \[ a = \sqrt{3600}\,\text{cm} = 60\,\text{cm} \] **2. Seitenlänge und Fläche des gelben Quadrats:** Die Seitenlänge des gelben Quadrats ist halb so lang wie die des Schildes: \[ a_{\text{gelb}} = \frac{a}{2} = \frac{60\,\text{cm}}{2} = 30\,\text{cm} \] Fläche des gelben Quadrats: \[ A_{\text{gelb}} = a_{\text{gelb}}^2 = (30\,\text{cm})^2 = 900\,\text{cm}^2 \] **Antwort:** - Die Seitenlänge des Schildes beträgt **60 cm**. - Der Flächeninhalt des gelben Quadrats beträgt **900 cm²**.

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Der Dreisatz ist eine Rechenmethode, mit der du proportionale Zusammenhänge berechnen kannst. Er wird oft verwendet, um aus drei bekannten Werten einen vierten unbekannten Wert zu bestimmen. **F... [mehr]

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Der Dreisatz ist eine Rechenmethode, mit der du proportionale Zusammenhänge berechnen kannst. Er wird oft verwendet, um aus drei bekannten Werten einen vierten unbekannten Wert zu bestimmen. **Formel für den Dreisatz:** Wenn gilt: a verhält sich zu b wie c zu x (a : b = c : x), dann gilt: x = (b * c) / a **Beispiel:** Wenn 4 Äpfel 2 Euro kosten, wie viel kosten 10 Äpfel? a = 4 Äpfel b = 2 Euro c = 10 Äpfel x = ? Euro x = (2 * 10) / 4 = 20 / 4 = 5 Euro **Zusammengefasst:** Dreisatz-Formel: x = (b * c) / a Weitere Infos findest du z.B. bei [Wikipedia – Dreisatz](https://de.wikipedia.org/wiki/Dreisatz).

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Die binomischen Formeln sind wichtige algebraische Identitäten, die das Quadrat und das Produkt von zwei Binomen beschreiben. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische... [mehr]

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Die binomischen Formeln sind wichtige algebraische Identitäten, die das Quadrat und das Produkt von zwei Binomen beschreiben. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische Formel**: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 2. **Zweite binomische Formel**: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 3. **Dritte binomische Formel**: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) Diese Formeln sind nützlich für das Vereinfachen von Ausdrücken und das Lösen von Gleichungen.

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Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue F... [mehr]

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Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ A' = k^2 \cdot A \] Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \): \[ A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2 \] 2. **Umfang nach der Streckung**: Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ U' = k \cdot U \] Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \): \[ U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm} \] 3. **Längen der Seiten des Rechtecks**: Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks: \[ U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41 \] \[ A = l \cdot b = 400 \] Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken: \[ b = 41 - l \] Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein: \[ l \cdot (41 - l) = 400 \] Dies ergibt die Gleichung: \[ 41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0 \] Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16 \] Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt). Zusammenfassend: - Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \) - Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \) - Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)

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Der Ausdruck \((A^2 + b^2)^2\) kann mit der binomischen Formel entwickelt werden. Die Formel lautet: \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] In deinem Fall ist \(x = A^2\) und \(y = b^2\). Daher ergibt si... [mehr]

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Der Ausdruck \((A^2 + b^2)^2\) kann mit der binomischen Formel entwickelt werden. Die Formel lautet: \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] In deinem Fall ist \(x = A^2\) und \(y = b^2\). Daher ergibt sich: \[ (A^2 + b^2)^2 = (A^2)^2 + 2(A^2)(b^2) + (b^2)^2 \Das vereinfacht sich zu: \[ A^4 + 2A^2b^2 + b^4 \] Das ist das Ergebnis der Entwicklung des Ausdrucks \((A^2 + b^2)^2\).

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Der Ausdruck \((9a + 15b)^2\) kann mit der binomischen Formel \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) erweitert werden. Hier ist \(x = 9a\) und \(y = 15b\). Die Berechnung erfolgt wie folgt: \[ (9a + 15b... [mehr]

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Der Ausdruck \((9a + 15b)^2\) kann mit der binomischen Formel \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) erweitert werden. Hier ist \(x = 9a\) und \(y = 15b\). Die Berechnung erfolgt wie folgt: \[ (9a + 15b)^2 = (9a)^2 + 2(9a)(15b) + (15b)^2 \] Das ergibt: \[ = 81a^2 + 270ab + 225b^2 \] Somit ist das Ergebnis: \[ 81a^2 + 270ab + 225b^2 \]