Ja: Die Ellipsengleichung folgt direkt aus der Definition „Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten ist konstant“; daraus ergibt sich nach Umformen die Standardform \(\frac{x^2}{a^2}+\...
Bestimme die Schnittpunkte der Graphen 0,1x^3 - 0,9x = 0,3x.
Antwort vomUm die Schnittpunkte der Graphen \(0,1x^3 - 0,9x = 0,3x\) zu bestimmen, setzen wir die Gleichung gleich: \[ 0,1x^3 - 0,9x - 0,3x = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0,1x^3 - 1,2x = 0 \] Nun können wir \(x\) faktorisieren: \[ 0,1x(x^2 - 12) = 0 \] Die Lösungen ergeben sich aus den Faktoren: 1. \(0,1x = 0\) → \(x = 0\) 2. \(x^2 - 12 = 0\) → \(x^2 = 12\) → \(x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und \(x = -\sqrt{12} = -2\sqrt{3}\) Die Schnittpunkte der Graphen sind also: - \(x = 0\) - \(x = 2\sqrt{3}\) - \(x = -2\sqrt{3}\) Um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu finden, setzen wir die x-Werte in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Zum Beispiel für \(x = 0\): \[ y = 0,1(0)^3 - 0,9(0) = 0 \] Für \(x = 2\sqrt{3}\): \[ y = 0,1(2\sqrt{3})^3 - 0,9(2\sqrt{3}) = 0,1(8\sqrt{3}) - 1,8\sqrt{3} = 0,8\sqrt{3} - 1,8\sqrt{3} = -1\sqrt{3} \] Für \(x = -2\sqrt{3}\): \[ y = 0,1(-2\sqrt{3})^3 - 0,9(-2\sqrt{3}) = 0,1(-8\sqrt{3}) + 1,8\sqrt{3} = -0,8\sqrt{3} + 1,8\sqrt{3} = 1\sqrt{3} \] Die Schnittpunkte der Graphen sind somit: 1. \((0, 0)\) 2. \((2\sqrt{3}, -\sqrt{3})\) 3. \((-2\sqrt{3}, \sqrt{3})\)
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