Wie lautet eine Beispielaufgabe zu Schnittpunkten zwischen einer quadratischen Kostenkurve und einer linearen Erlösgeraden mit einfachen Zahlen und Lösung?

Question

Wie lautet eine Beispielaufgabe zu Schnittpunkten zwischen einer quadratischen Kostenkurve und einer linearen Erlösgeraden mit einfachen Zahlen und Lösung?

Antwort

Verwandte Fragen

Können sich vier Linien in genau zwei Punkten schneiden?

Wie viele Schnittpunkte können vier Geraden haben?

Accepted Answer

Hier ist ein Beispiel für eine passende Aufgabe: **Aufgabe:** Ein Unternehmen produziert und verkauft ein Produkt. Die Kosten \( K(x) \) für die Produktion von \( x \) Stück sind durch die quadratische Funktion \[ K(x) = 2x^2 + 3x + 50 \] gegeben. Der Erlös \( E(x) \) beim Verkauf von \( x \) Stück beträgt \[ E(x) = 23x \]. Berechne die Schnittpunkte der Kostenkurve und der Erlösgeraden. Gib die Lösung mit Rechenweg an. --- **Lösung:** Gesucht sind die Werte von \( x \), für die \( K(x) = E(x) \): \[ 2x^2 + 3x + 50 = 23x \] \[ 2x^2 + 3x + 50 - 23x = 0 \] \[ 2x^2 - 20x + 50 = 0 \] Nun die quadratische Gleichung lösen: \[ x^2 - 10x + 25 = 0 \quad \text{(beide Seiten durch 2 teilen)} \] \[ (x - 5)^2 = 0 \] \[ x - 5 = 0 \implies x = 5 \] **Antwort:** Die Kostenkurve und die Erlösgerade schneiden sich bei \( x = 5 \). Das heißt, bei einer Produktionsmenge von 5 Stück sind Kosten und Erlös gleich hoch. **Überprüfung:** \[ K(5) = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 + 50 = 2 \cdot 25 + 15 + 50 = 50 + 15 + 50 = 115 \] \[ E(5) = 23 \cdot 5 = 115 \] Beide Werte stimmen überein.

Accepted Answer

Nein, vier Linien können sich im Allgemeinen nicht nur in genau zwei Punkten schneiden. **Begründung:** Wenn sich vier Linien schneiden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie s... [mehr]

Accepted Answer

Nein, vier Linien können sich im Allgemeinen nicht nur in genau zwei Punkten schneiden. **Begründung:** Wenn sich vier Linien schneiden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie sich schneiden können: - **Alle vier Linien gehen durch einen Punkt:** Dann schneiden sie sich in einem Punkt. - **Keine zwei Linien sind parallel, keine drei gehen durch einen Punkt:** Dann schneiden sich je zwei Linien in einem Punkt. Bei vier Linien gibt es \(\binom{4}{2} = 6\) Schnittpunkte. - **Zwei Paare von parallelen Linien:** Dann schneiden sich die Linien in vier Punkten (jede Linie des ersten Paars schneidet jede Linie des zweiten Paars). - **Drei Linien gehen durch einen Punkt, die vierte ist anders:** Dann gibt es mehr als zwei Schnittpunkte. Es ist **nicht möglich**, vier Geraden in einer Ebene so anzuordnen, dass sie sich **nur in genau zwei Punkten** schneiden. Entweder gibt es weniger (alle durch einen Punkt: 1 Schnittpunkt) oder mehr (mindestens 3, meistens 4 oder 6) Schnittpunkte. **Fazit:** Vier Linien können sich nicht in genau zwei Punkten schneiden.

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Vier Geraden können sich auf verschiedene Arten schneiden, je nachdem, wie sie zueinander liegen. Die „Punkte“, die du meinst, sind vermutlich die Schnittpunkte der Geraden. **Allgem... [mehr]

Accepted Answer

Vier Geraden können sich auf verschiedene Arten schneiden, je nachdem, wie sie zueinander liegen. Die „Punkte“, die du meinst, sind vermutlich die Schnittpunkte der Geraden. **Allgemein gilt:** - Zwei Geraden schneiden sich (im Allgemeinen) in einem Punkt. - Wenn zwei Geraden parallel sind, schneiden sie sich nicht. - Wenn mehrere Geraden durch einen Punkt gehen (sich also alle in einem Punkt treffen), gibt es weniger Schnittpunkte. **Maximale Anzahl der Schnittpunkte:** Wenn keine zwei Geraden parallel sind und keine drei Geraden sich in einem Punkt schneiden, dann schneidet jede Gerade jede andere Gerade genau einmal. Die Anzahl der Schnittpunkte entspricht dann der Anzahl der Möglichkeiten, aus 4 Geraden jeweils 2 auszuwählen (denn jede Kombination von 2 Geraden ergibt einen Schnittpunkt): \[ \text{Anzahl der Schnittpunkte} = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \] **Mögliche Anzahl der Schnittpunkte:** - **6** (maximal, wenn keine zwei Geraden parallel sind und keine drei sich in einem Punkt schneiden) - **Weniger als 6**, wenn z.B. zwei Geraden parallel sind (dann fehlt ein Schnittpunkt), oder wenn drei oder mehr Geraden sich in einem Punkt treffen (dann „verschmelzen“ mehrere Schnittpunkte zu einem). **Zusammenfassung:** Vier Geraden können **maximal 6 Schnittpunkte** haben. Es sind aber auch weniger möglich, je nach Anordnung der Geraden.