Bestimme die Schnittpunkte der Funktionen f(x)=x²-7 und g(x)=4x-11.

Question

Bestimme die Schnittpunkte der Funktionen f(x)=x²-7 und g(x)=4x-11.

Antwort

Verwandte Fragen

Parabel schneidet bei x = -2 und x = 4 die x-Achse. Wie lautet b und die Parabelgleichung?

Wie lautet eine Beispielaufgabe zu Schnittpunkten zwischen einer quadratischen Kostenkurve und einer linearen Erlösgeraden mit einfachen Zahlen und Lösung?

Was ist die Produktregel?

-cos(x) abgeleitet?

Was ist eine spannende Idee zur Einführung in Funktionen?

Können sich vier Linien in genau zwei Punkten schneiden?

Wie viele Schnittpunkte können vier Geraden haben?

Accepted Answer

Um die Schnittpunkte der Funktionen \( f(x) = x^2 - 7 \) und \( g(x) = 4x - 11 \) zu bestimmen, setzt man die beiden Funktionen gleich: \[ x^2 - 7 = 4x - 11 \] Um die Gleichung zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite: \[ x^2 - 4x - 7 + 11 = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] Diese Gleichung kann weiter vereinfacht werden: \[ (x - 2)^2 = 0 \] Die Lösung ist: \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Um den y-Wert des Schnittpunkts zu finden, setzen wir \( x = 2 \) in eine der beiden Funktionen ein, zum Beispiel in \( f(x) \): \[ f(2) = 2^2 - 7 = 4 - 7 = -3 \] Der Schnittpunkt der Graphen der Funktionen \( f \) und \( g \) ist somit: \[ (2, -3) \]

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabe... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabel (quadratische Funktion) mit den Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \) lautet: \[ y = a(x - x_1)(x - x_2) \] Setze die Werte ein: \[ y = a(x + 2)(x - 4) \] Wenn keine weiteren Angaben (z.B. Scheitelpunkt oder ein Punkt, durch den die Parabel verläuft) gemacht werden, kann \( a \) beliebig gewählt werden. Häufig wird \( a = 1 \) angenommen, wenn nichts anderes gegeben ist. **1. Gleichung der Parabel (mit \( a = 1 \)):** \[ y = (x + 2)(x - 4) \] \[ y = x^2 - 4x + 2x - 8 \] \[ y = x^2 - 2x - 8 \] **2. Parameter \( b \) in der Form \( y = x^2 + bx + c \):** Vergleiche: \[ y = x^2 - 2x - 8 \] Hier ist \( b = -2 \). **Antwort:** - \( b = -2 \) - Die Gleichung der Parabel lautet: \( y = x^2 - 2x - 8 \) Falls ein anderer Wert für \( a \) gegeben ist, müsste dieser noch eingesetzt werden.

Accepted Answer

Hier ist ein Beispiel für eine passende Aufgabe: **Aufgabe:** Ein Unternehmen produziert und verkauft ein Produkt. Die Kosten \( K(x) \) für die Produktion von \( x \) Stück sind durc... [mehr]

Accepted Answer

Hier ist ein Beispiel für eine passende Aufgabe: **Aufgabe:** Ein Unternehmen produziert und verkauft ein Produkt. Die Kosten \( K(x) \) für die Produktion von \( x \) Stück sind durch die quadratische Funktion \[ K(x) = 2x^2 + 3x + 50 \] gegeben. Der Erlös \( E(x) \) beim Verkauf von \( x \) Stück beträgt \[ E(x) = 23x \]. Berechne die Schnittpunkte der Kostenkurve und der Erlösgeraden. Gib die Lösung mit Rechenweg an. --- **Lösung:** Gesucht sind die Werte von \( x \), für die \( K(x) = E(x) \): \[ 2x^2 + 3x + 50 = 23x \] \[ 2x^2 + 3x + 50 - 23x = 0 \] \[ 2x^2 - 20x + 50 = 0 \] Nun die quadratische Gleichung lösen: \[ x^2 - 10x + 25 = 0 \quad \text{(beide Seiten durch 2 teilen)} \] \[ (x - 5)^2 = 0 \] \[ x - 5 = 0 \implies x = 5 \] **Antwort:** Die Kostenkurve und die Erlösgerade schneiden sich bei \( x = 5 \). Das heißt, bei einer Produktionsmenge von 5 Stück sind Kosten und Erlös gleich hoch. **Überprüfung:** \[ K(5) = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 + 50 = 2 \cdot 25 + 15 + 50 = 50 + 15 + 50 = 115 \] \[ E(5) = 23 \cdot 5 = 115 \] Beide Werte stimmen überein.

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast... [mehr]

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Das Produkt dieser beiden Funktionen ist \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \). Die Produktregel besagt: \[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Das bedeutet: Die Ableitung des Produkts ist gleich der Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion, plus die erste Funktion mal der Ableitung der zweiten Funktion. **Beispiel:** Sei \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = \sin(x) \). Dann ist \( h(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Die Ableitungen sind: - \( f'(x) = 2x \) - \( g'(x) = \cos(x) \) Nach der Produktregel: \[ h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \] So kannst du die Produktregel anwenden, um die Ableitung eines Produkts zu berechnen.

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

Accepted Answer

Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten... [mehr]

Accepted Answer

Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten“. Stelle dir vor, du wirfst eine Münze in einen Automaten und wählst ein Getränk aus. Für jede Eingabe (Münze + Auswahl) gibt der Automat genau ein Getränk aus. Das ist wie bei einer Funktion: Jeder Eingabewert (x) wird eindeutig einem Ausgabewert (f(x)) zugeordnet. Du kannst das Thema interaktiv gestalten, indem du die Lernenden eigene „Automaten-Funktionen“ erfinden lässt (z.B. „Was passiert, wenn ich eine 2 eingebe?“) oder sie verschiedene Automaten vergleichen lässt (z.B. Automaten, die für dieselbe Eingabe unterschiedliche Ausgaben liefern – das wäre dann keine Funktion). So wird das abstrakte Konzept greifbar und die Bedeutung von „eindeutiger Zuordnung“ verständlich.

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Nein, vier Linien können sich im Allgemeinen nicht nur in genau zwei Punkten schneiden. **Begründung:** Wenn sich vier Linien schneiden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie s... [mehr]

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Nein, vier Linien können sich im Allgemeinen nicht nur in genau zwei Punkten schneiden. **Begründung:** Wenn sich vier Linien schneiden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie sich schneiden können: - **Alle vier Linien gehen durch einen Punkt:** Dann schneiden sie sich in einem Punkt. - **Keine zwei Linien sind parallel, keine drei gehen durch einen Punkt:** Dann schneiden sich je zwei Linien in einem Punkt. Bei vier Linien gibt es \(\binom{4}{2} = 6\) Schnittpunkte. - **Zwei Paare von parallelen Linien:** Dann schneiden sich die Linien in vier Punkten (jede Linie des ersten Paars schneidet jede Linie des zweiten Paars). - **Drei Linien gehen durch einen Punkt, die vierte ist anders:** Dann gibt es mehr als zwei Schnittpunkte. Es ist **nicht möglich**, vier Geraden in einer Ebene so anzuordnen, dass sie sich **nur in genau zwei Punkten** schneiden. Entweder gibt es weniger (alle durch einen Punkt: 1 Schnittpunkt) oder mehr (mindestens 3, meistens 4 oder 6) Schnittpunkte. **Fazit:** Vier Linien können sich nicht in genau zwei Punkten schneiden.

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Vier Geraden können sich auf verschiedene Arten schneiden, je nachdem, wie sie zueinander liegen. Die „Punkte“, die du meinst, sind vermutlich die Schnittpunkte der Geraden. **Allgem... [mehr]

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Vier Geraden können sich auf verschiedene Arten schneiden, je nachdem, wie sie zueinander liegen. Die „Punkte“, die du meinst, sind vermutlich die Schnittpunkte der Geraden. **Allgemein gilt:** - Zwei Geraden schneiden sich (im Allgemeinen) in einem Punkt. - Wenn zwei Geraden parallel sind, schneiden sie sich nicht. - Wenn mehrere Geraden durch einen Punkt gehen (sich also alle in einem Punkt treffen), gibt es weniger Schnittpunkte. **Maximale Anzahl der Schnittpunkte:** Wenn keine zwei Geraden parallel sind und keine drei Geraden sich in einem Punkt schneiden, dann schneidet jede Gerade jede andere Gerade genau einmal. Die Anzahl der Schnittpunkte entspricht dann der Anzahl der Möglichkeiten, aus 4 Geraden jeweils 2 auszuwählen (denn jede Kombination von 2 Geraden ergibt einen Schnittpunkt): \[ \text{Anzahl der Schnittpunkte} = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \] **Mögliche Anzahl der Schnittpunkte:** - **6** (maximal, wenn keine zwei Geraden parallel sind und keine drei sich in einem Punkt schneiden) - **Weniger als 6**, wenn z.B. zwei Geraden parallel sind (dann fehlt ein Schnittpunkt), oder wenn drei oder mehr Geraden sich in einem Punkt treffen (dann „verschmelzen“ mehrere Schnittpunkte zu einem). **Zusammenfassung:** Vier Geraden können **maximal 6 Schnittpunkte** haben. Es sind aber auch weniger möglich, je nach Anordnung der Geraden.