Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Berechne die Scheitelpunktsform der Funktion f(x) = x² - x + 5,25 und zeichne den Graphen.
Antwort vomUm die Scheitelpunktsform der Funktion \( f(x) = x^2 - x + 5,25 \) zu berechnen, verwenden wir die Methode der quadratischen Ergänzung. 1. **Quadratische Ergänzung**: Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Hier ist \( a = 1 \), \( b = -1 \) und \( c = 5,25 \). Zuerst nehmen wir die ersten beiden Terme \( x^2 - x \) und ergänzen sie: \[ f(x) = x^2 - x + 5,25 \] Um die quadratische Ergänzung durchzuführen, nehmen wir den Koeffizienten von \( x \), teilen ihn durch 2 und quadrieren das Ergebnis: \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Jetzt fügen wir und subtrahieren wir \( \frac{1}{4} \): \[ f(x) = \left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) + 5,25 - \frac{1}{4} \] Das ergibt: \[ f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 5,25 - 0,25 \] \[ f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 5 \] 2. **Scheitelpunktsform**: Die Scheitelpunktsform der Funktion ist somit: \[ f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 5 \] Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei \( \left(\frac{1}{2}, 5\right) \). 3. **Graph zeichnen**: Um den Graphen zu zeichnen, kannst du die Scheitelpunktsform verwenden. Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Parabel, da die Parabel nach oben geöffnet ist (da \( a > 0 \)). - Der Scheitelpunkt ist bei \( \left(\frac{1}{2}, 5\right) \). - Die Parabel wird symmetrisch um die Linie \( x = \frac{1}{2} \) verlaufen. Um den Graphen zu zeichnen, kannst du Punkte um den Scheitelpunkt herum berechnen, z.B. für \( x = 0 \) und \( x = 1 \): - Für \( x = 0 \): \[ f(0) = \left(0 - \frac{1}{2}\right)^2 + 5 = \frac{1}{4} + 5 = 5,25 \] - Für \( x = 1 \): \[ f(1) = \left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + 5 = \frac{1}{4} + 5 = 5,25 \] Diese Punkte helfen dir, die Form der Parabel zu skizzieren.
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