Wie lautet die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitel S(1/−1) und einem Punkt A(4/−10)?

Question

Wie lautet die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitel S(1/−1) und einem Punkt A(4/−10)?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie berechne ich, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

Parabel schneidet bei x = -2 und x = 4 die x-Achse. Wie lautet b und die Parabelgleichung?

Was beschreibt die Krümmung bei der Bewegung eines Punktes?

Wie berechnet man den Abstand eines Punktes zum Ursprung?

Warum ist ein exaktes Winkeldritteln mit Hilfe der Parabel y = x^2 für beliebige Winkel möglich, obwohl es als unmöglich bewiesen ist?

Accepted Answer

Eine quadratische Funktion in Scheitelform hat die allgemeine Form: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] wobei \((h, k)\) der Scheitelpunkt der Parabel ist. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt \( S(1, -1) \), also \( h = 1 \) und \( k = -1 \). Die Gleichung der Parabel lautet daher: \[ f(x) = a(x - 1)^2 - 1 \] Um den Wert von \( a \) zu bestimmen, wird der Punkt \( A(4, -10) \) verwendet. Setze \( x = 4 \) und \( f(x) = -10 \) in die Gleichung ein: \[ -10 = a(4 - 1)^2 - 1 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -10 = a(3)^2 - 1 \] \[ -10 = 9a - 1 \] Addiere 1 zu beiden Seiten der Gleichung: \[ -9 = 9a \] Teile beide Seiten durch 9: \[ a = -1 \] Setze \( a \) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[ f(x) = -1(x - 1)^2 - 1 \] Die Gleichung der Parabel lautet also: \[ f(x) = -(x - 1)^2 - 1 \]

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten... [mehr]

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten des Punktes.** Zum Beispiel: \( P(1|5) \) 3. **Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.** \( f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \) 4. **Vergleiche das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes.** Wenn \( f(1) = 5 \) und der Punkt \( P(1|5) \) ist, dann liegt der Punkt auf dem Graphen. **Allgemein:** Ein Punkt \( P(x_0|y_0) \) liegt auf dem Graphen der Funktion \( f(x) \), wenn gilt: \( f(x_0) = y_0 \) **Beispiel mit einer anderen Funktion:** Funktion: \( f(x) = x^2 \) Punkt: \( Q(2|4) \) Prüfung: \( f(2) = 2^2 = 4 \) → Punkt liegt auf dem Graphen. **Zusammenfassung:** Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Ist das Ergebnis gleich dem y-Wert des Punktes, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabe... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabel (quadratische Funktion) mit den Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \) lautet: \[ y = a(x - x_1)(x - x_2) \] Setze die Werte ein: \[ y = a(x + 2)(x - 4) \] Wenn keine weiteren Angaben (z.B. Scheitelpunkt oder ein Punkt, durch den die Parabel verläuft) gemacht werden, kann \( a \) beliebig gewählt werden. Häufig wird \( a = 1 \) angenommen, wenn nichts anderes gegeben ist. **1. Gleichung der Parabel (mit \( a = 1 \)):** \[ y = (x + 2)(x - 4) \] \[ y = x^2 - 4x + 2x - 8 \] \[ y = x^2 - 2x - 8 \] **2. Parameter \( b \) in der Form \( y = x^2 + bx + c \):** Vergleiche: \[ y = x^2 - 2x - 8 \] Hier ist \( b = -2 \). **Antwort:** - \( b = -2 \) - Die Gleichung der Parabel lautet: \( y = x^2 - 2x - 8 \) Falls ein anderer Wert für \( a \) gegeben ist, müsste dieser noch eingesetzt werden.

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Die Krümmung beschreibt, wie stark sich eine Kurve an einem bestimmten Punkt von einer Geraden unterscheidet, also wie „gekrümmt“ oder „gebogen“ sie dort ist. Mathema... [mehr]

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Die Krümmung beschreibt, wie stark sich eine Kurve an einem bestimmten Punkt von einer Geraden unterscheidet, also wie „gekrümmt“ oder „gebogen“ sie dort ist. Mathematisch ist die Krümmung ein Maß dafür, wie schnell sich die Richtung der Tangente an die Kurve beim Bewegen entlang der Kurve ändert. Im Kontext der Bewegung eines Punktes (z.B. bei der Erzeugung von Kurven wie Kreisen, Parabeln, Ellipsen usw.) ist die Methode zur Erzeugung oft ähnlich: Ein Punkt bewegt sich nach bestimmten Regeln im Raum. Das Ergebnis – also die Form der Kurve – unterscheidet sich durch die jeweilige Krümmung an den einzelnen Punkten. **Was beschreibt die Krümmung konkret?** - **Bei einem Kreis** ist die Krümmung überall gleich groß (konstant), weil der Kreis überall gleich „rund“ ist. - **Bei einer Geraden** ist die Krümmung überall null, weil sich die Richtung der Tangente nie ändert. - **Bei einer Parabel oder Ellipse** ändert sich die Krümmung von Punkt zu Punkt: An den „spitzeren“ Stellen ist sie größer, an den „flacheren“ kleiner. **Mathematisch** wird die Krümmung einer ebenen Kurve oft als Kehrwert des Krümmungsradius angegeben. Sie kann mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung der Kurvengleichung berechnet werden. **Zusammengefasst:** Die Krümmung beschreibt, wie stark und an welcher Stelle sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Sie ist das entscheidende Merkmal, das verschiedene Kurvenformen voneinander unterscheidet, auch wenn die Methode zur Erzeugung (Bewegung eines Punktes) ähnlich ist.

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Um den Abstand eines Punktes zum Ursprung im Koordinatensystem zu bestimmen, verwendet man den Satz des Pythagoras. Für einen Punkt \( P(x, y) \) in der Ebene (2D) berechnet sich der Abstand \( d... [mehr]

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Um den Abstand eines Punktes zum Ursprung im Koordinatensystem zu bestimmen, verwendet man den Satz des Pythagoras. Für einen Punkt \( P(x, y) \) in der Ebene (2D) berechnet sich der Abstand \( d \) zum Ursprung \( (0, 0) \) so: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \] Für einen Punkt \( P(x, y, z) \) im Raum (3D) gilt: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Du setzt einfach die Koordinaten des Punktes in die jeweilige Formel ein und erhältst den Abstand.

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Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich... [mehr]

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Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich** auf Konstruktionen, die nur mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden dürfen. Wenn du aber eine Parabel, zum Beispiel \( y = x^2 \), als zusätzliches Hilfsmittel verwendest, verlässt du die klassischen Regeln der "Zirkel-und-Lineal-Konstruktion". Mit einer Parabel (oder anderen bestimmten Kurven, wie der Neusis-Konstruktion oder der sogenannten "Trisektrix") ist das exakte Winkeldritteln tatsächlich **möglich**. **Warum ist das so?** - Das Problem beim Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist, dass die Gleichung, die du lösen musst (im Wesentlichen eine kubische Gleichung), mit diesen Werkzeugen nicht immer lösbar ist. - Mit einer Parabel kannst du aber geometrisch eine Konstruktion durchführen, die einer Lösung einer kubischen Gleichung entspricht. - Das heißt: Die Parabel erweitert die "Werkzeugkiste" so, dass du Aufgaben lösen kannst, die mit Zirkel und Lineal allein nicht gehen. **Fazit:** Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal unmöglich, aber mit einer Parabel (wie \( y = x^2 \)) möglich, weil du damit zusätzliche mathematische Operationen (wie das Lösen kubischer Gleichungen) geometrisch umsetzen kannst. Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für die klassischen Werkzeuge, nicht für Konstruktionen mit Parabeln. Weitere Infos: - [Winkeldrittelung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung) - [Wantzelscher Unmöglichkeitsbeweis – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Wantzelscher_Unm%C3%B6glichkeitsbeweis)