Bestimme die Nullstellen von (sqrt(x) + (x - 4)) / (2 * sqrt(x))?

Question

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion $ f(x) = \frac{\sqrt{x} + (x - 4)}{2\sqrt{x}} $ zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null:

$$
\frac{\sqrt{x} + (x - 4)}{2\sqrt{x}} = 0
$$

Der Bruch ist nur null, wenn der Zähler null ist. Daher setzen wir den Zähler gleich null:

$$
\sqrt{x} + (x - 4) = 0
$$

Das vereinfacht sich zu:

$$
\sqrt{x} + x - 4 = 0
$$

Um die Gleichung zu lösen, isolieren wir $\sqrt{x}$:

$$
\sqrt{x} = 4 - x
$$

Nun quadrieren wir beide Seiten, um die Wurzel zu eliminieren:

$$
x = (4 - x)^2
$$

Das ergibt:

$$
x = 16 - 8x + x^2
$$

Um die Gleichung in die Standardform zu bringen, bringen wir alle Terme auf eine Seite:

$$
x^2 - 9x + 16 = 0
$$

Jetzt können wir die Mitternachtsformel (quadratische Formel) anwenden:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Hier ist $a = 1$, $b = -9$ und $c = 16$:

$$
x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}
$$
$$
x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 64}}{2}
$$
$$
x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}
$$

Die Nullstellen der Funktion sind also:

$$
x_1 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}
$$

Beide Werte sind die Nullstellen der gegebenen Funktion.

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