Wie viele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung x²+y²+z²=5?

Question

Wie viele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung x²+y²+z²=5?

Antwort

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Accepted Answer

Um die ganzzahligen Lösungen der Gleichung \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\) zu finden, betrachten wir die möglichen Werte für \(x\), \(y\) und \(z\). Da \(x^2\), \(y^2\) und \(z^2\) nicht negativ sind, können die Werte von \(x\), \(y\) und \(z\) nur in einem bestimmten Bereich liegen. Die möglichen Werte für \(x^2\), \(y^2\) und \(z^2\) sind 0, 1, 4, da \(5\) die Summe ist und die Quadrate größer als 5 nicht sein können. Wir untersuchen die Kombinationen: 1. **Fall 1:** \(x^2 = 5\), \(y^2 = 0\), \(z^2 = 0\) - Lösungen: \((\pm\sqrt{5}, 0, 0)\) – keine ganzzahligen Lösungen. 2. **Fall 2:** \(x^2 = 4\), \(y^2 = 1\), \(z^2 = 0\) - Lösungen: \((\pm 2, \pm 1, 0)\) - Kombinationen: \((2, 1, 0)\), \((2, -1, 0)\), \((-2, 1, 0)\), \((-2, -1, 0)\) - Permutationen: \(4\) (für \(x\) und \(y\) kann man \(0\) an die dritte Position setzen, was \(3!\) Permutationen ergibt, aber \(0\) ist nicht variabel). 3. **Fall 3:** \(x^2 = 1\), \(y^2 = 1\), \(z^2 = 3\) - Lösungen: \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\) – keine ganzzahligen Lösungen. 4. **Fall 4:** \(x^2 = 1\), \(y^2 = 4\), \(z^2 = 0\) - Lösungen: \((\pm 1, \pm 2, 0)\) - Kombinationen: \((1, 2, 0)\), \((1, -2, 0)\), \((-1, 2, 0)\), \((-1 -2, 0)\) - Permutationen: \(6\) (da \(1\) und \(2\) variabel sind). 5. **Fall 5:** \(x^2 = 0\), \(y^2 = 0\), \(z^2 = 5\) - Lösungen: \((0, 0, \pm\sqrt{5})\) – keine ganzzahligen Lösungen. Zusammenfassend gibt es die folgenden ganzzahligen Lösungen: - Aus Fall 2: \(4\) Lösungen - Aus Fall 4: \(6\) Lösungen Insgesamt gibt es also \(4 + 6 = 10\) ganzzahlige Lösungen für die Gleichung \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\).

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Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner nicht null ist. Das bedeutet, jede Zahl der Form \( \frac... [mehr]

Accepted Answer

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner nicht null ist. Das bedeutet, jede Zahl der Form \( \frac{a}{b} \), wobei \( a \) und \( b \) ganze Zahlen sind und \( b \neq 0 \), ist eine rationale Zahl. Dazu gehören zum Beispiel: - Ganze Zahlen (z.B. 3, -5, 0), da sie als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden können (z.B. \( 3 = \frac{3}{1} \)) - Endliche Dezimalzahlen (z.B. 0,75 = \( \frac{3}{4} \)) - Periodische Dezimalzahlen (z.B. 0,333... = \( \frac{1}{3} \)) Nicht dazu gehören unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen wie die Kreiszahl π oder die Wurzel aus 2 – diese sind irrational.

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Kategorie: Mathematik Tags: Runden Zehnerstelle Zahlen

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Kategorie: Mathematik Tags: Runden Zahlen Zehner

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Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitution“. Zum Beispiel, wenn du die Funktion \( f(x) = x^2 \) hast und sie in die Gleichung \( y = 3 + f(x) \) einbauen möchtest, schreibst du: \( y = 3 + x^2 \) Wenn du eine komplexere Gleichung hast, wie zum Beispiel \( y = 2 \cdot f(x) + 5 \), setzt du ebenfalls die Funktion an die Stelle von \( f(x) \): \( y = 2 \cdot x^2 + 5 \) Falls du eine Funktion in eine andere Funktion einsetzt (Funktionsverkettung), zum Beispiel \( g(x) = \sin(x) \) und \( f(x) = x^2 \), dann ist \( g(f(x)) = \sin(x^2) \). Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir zeigen, wie du es einsetzt. Generell gilt: Ersetze einfach die Funktionsvariable durch den gewünschten Ausdruck oder die Funktion.

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Ziffern sind tatsächlich Symbole, die zur Darstellung von Zahlen verwendet werden. Sie sind die „Bausteine“ unseres Zahlensystems. Zum Beispiel stehen im Dezimalsystem die Ziffern 0 b... [mehr]

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Ziffern sind tatsächlich Symbole, die zur Darstellung von Zahlen verwendet werden. Sie sind die „Bausteine“ unseres Zahlensystems. Zum Beispiel stehen im Dezimalsystem die Ziffern 0 bis 9 für die Grundsymbole, mit denen alle Zahlen gebildet werden können. Ob Ziffern eine „eigene Form“ haben, hängt davon ab, was damit gemeint ist: - **Als Symbole:** Ziffern sind Zeichen, die eine bestimmte Bedeutung tragen – ähnlich wie Buchstaben im Alphabet. Die Form, wie sie geschrieben oder gedruckt werden, kann variieren (z.B. verschiedene Schriftarten), aber die Bedeutung bleibt gleich. - **Im mathematischen Sinn:** Ziffern sind keine Zahlen selbst, sondern Zeichen, mit denen Zahlen dargestellt werden. Die Zahl „fünf“ kann zum Beispiel als „5“ (arabische Ziffer), „V“ (römische Ziffer) oder „٥“ (arabisch) geschrieben werden – es sind verschiedene Symbole für denselben Zahlenwert. Zusammengefasst: Ziffern sind Symbole für Zahlen und haben keine „eigene“ Form im Sinne einer festen, universellen Gestalt – ihre Darstellung ist konventionell und kann kulturell oder schriftartabhängig unterschiedlich sein. Ihre Funktion ist es, Zahlen darzustellen, nicht selbst Zahlen zu sein.

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1 Milliarde hat 9 Nullen. Sie wird so geschrieben: 1.000.000.000

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Kategorie: Mathematik Tags: Milliarde Nullen Zahlen

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Kategorie: Mathematik Tags: Addition Grundrechenarten Zahlen

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Die Quadratzahl, die zwischen 101 und 131 liegt, ist **121**. Denn 11 × 11 = 121.

Kategorie: Mathematik Tags: Quadratzahl Bereich Zahlen

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Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **... [mehr]

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Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **unbestimmte Integral** einer Funktion zu bestimmen. Das Ergebnis ist dann die **Stammfunktion**. Wenn du zum Beispiel die Gleichung \( f(x) = 2x \) hast, dann kannst du das unbestimmte Integral von \( f(x) \) berechnen, also \( \int 2x \, dx = x^2 + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Man sagt also: - „Die Funktion \( f(x) \) integrieren“ - „Das unbestimmte Integral von \( f(x) \) bestimmen“ - „Die Stammfunktion von \( f(x) \) berechnen“ Der Begriff „transferieren“ wird in diesem Zusammenhang nicht verwendet.

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Dreiviertel von 22 ist 16,5. Berechnung: 22 × ¾ = 16,5

Kategorie: Mathematik Tags: Dreiviertel Bruchrechnung Zahlen