Wie viele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung x²+y²+z²=5?

Um die ganzzahligen Lösungen der Gleichung \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\) zu finden, betrachten wir die möglichen Werte für \(x\), \(y\) und \(z\). Da \(x^2\), \(y^2\) und \(z^2\) nicht negativ sind, können die Werte von \(x\), \(y\) und \(z\) nur in einem bestimmten Bereich liegen.

Die möglichen Werte für \(x^2\), \(y^2\) und \(z^2\) sind 0, 1, 4, da \(5\) die Summe ist und die Quadrate größer als 5 nicht sein können. Wir untersuchen die Kombinationen:

1. **Fall 1:** \(x^2 = 5\), \(y^2 = 0\), \(z^2 = 0\)
- Lösungen: \((\pm\sqrt{5}, 0, 0)\) – keine ganzzahligen Lösungen.

2. **Fall 2:** \(x^2 = 4\), \(y^2 = 1\), \(z^2 = 0\)
- Lösungen: \((\pm 2, \pm 1, 0)\)
- Kombinationen: \((2, 1, 0)\), \((2, -1, 0)\), \((-2, 1, 0)\), \((-2, -1, 0)\)
- Permutationen: \(4\) (für \(x\) und \(y\) kann man \(0\) an die dritte Position setzen, was \(3!\) Permutationen ergibt, aber \(0\) ist nicht variabel).

3. **Fall 3:** \(x^2 = 1\), \(y^2 = 1\), \(z^2 = 3\)
- Lösungen: \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\) – keine ganzzahligen Lösungen.

4. **Fall 4:** \(x^2 = 1\), \(y^2 = 4\), \(z^2 = 0\)
- Lösungen: \((\pm 1, \pm 2, 0)\)
- Kombinationen: \((1, 2, 0)\), \((1, -2, 0)\), \((-1, 2, 0)\), \((-1 -2, 0)\)
- Permutationen: \(6\) (da \(1\) und \(2\) variabel sind).

5. **Fall 5:** \(x^2 = 0\), \(y^2 = 0\), \(z^2 = 5\)
- Lösungen: \((0, 0, \pm\sqrt{5})\) – keine ganzzahligen Lösungen.

Zusammenfassend gibt es die folgenden ganzzahligen Lösungen:

- Aus Fall 2: \(4\) Lösungen
- Aus Fall 4: \(6\) Lösungen

Insgesamt gibt es also \(4 + 6 = 10\) ganzzahlige Lösungen für die Gleichung \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\).