Wie lautet die Funktionsgleichung einer Parabel, die um 2 Einheiten nach unten, 6 Einheiten nach rechts verschoben und um den Faktor 0,5 gestaucht ist?

Question

Wie lautet die Funktionsgleichung einer Parabel, die um 2 Einheiten nach unten, 6 Einheiten nach rechts verschoben und um den Faktor 0,5 gestaucht ist?

Antwort

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Wie setzt man den Punkt P(1/3) in die Gleichung y = ax²?

Wie erkennt man den Funktionsterm einer Parabel am Graphen?

Wie sieht der Graph der Stammfunktion einer nach oben geöffneten Parabel aus?

Scheitelpunktform berechnen?

Accepted Answer

Um die Funktionsgleichung einer Parabel aufzustellen, die um 2 Einheiten nach unten und 6 Einheiten nach rechts verschoben sowie um den Faktor 0,5 gestaucht ist, kannst du mit der allgemeinen Form einer Parabel beginnen: Die Standardform einer Parabel ist \( f(x) = ax^2 \), wobei \( a \) den Streckfaktor angibt. 1. **Stauchung**: Da die Parabel um den Faktor 0,5 gestaucht ist, wird \( a = 0,5 \) sein. 2. **Verschiebung nach rechts**: Eine Verschiebung um 6 Einheiten nach rechts bedeutet, dass du \( x \) durch \( (x - 6) \) ersetzt. 3. **Verschiebung nach unten**: Eine Verschiebung um 2 Einheiten nach unten bedeutet, dass du 2 von der gesamten Funktion subtrahierst. Die Funktionsgleichung wird also: \[ f(x) = 0,5 \cdot (x - 6)^2 - 2 \] Das ist die gesuchte Funktionsgleichung der Parabel.

Accepted Answer

Um den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) in die Gleichung \( y = ax^2 \) einzusetzen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einfügen. Das bedeutet, dass du \( x = 1 \) und \( y = \fra... [mehr]

Accepted Answer

Um den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) in die Gleichung \( y = ax^2 \) einzusetzen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einfügen. Das bedeutet, dass du \( x = 1 \) und \( y = \frac{1}{3} \) in die Gleichung einsetzt: \[ \frac{1}{3} = a \cdot (1)^2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ \frac{1}{3} = a \] Somit ist der Wert von \( a \) gleich \( \frac{1}{3} \). Die Gleichung, die den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) enthält, lautet also: \[ y = \frac{1}{3}x^2 \]

Accepted Answer

Um den Funktionsterm einer Parabel anhand ihres Graphen zu erkennen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Scheitelpunkt bestimmen**: Finde den Scheitelpunkt der Parabel. Dieser Punkt ist entwed... [mehr]

Accepted Answer

Um den Funktionsterm einer Parabel anhand ihres Graphen zu erkennen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Scheitelpunkt bestimmen**: Finde den Scheitelpunkt der Parabel. Dieser Punkt ist entweder das Minimum oder Maximum der Parabel, je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. 2. **Öffnungsrichtung**: Bestimme, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist. Dies kannst du erkennen, indem du schaust, ob die Arme der Parabel nach oben oder unten zeigen. 3. **Steigung und Breite**: Achte auf die Breite der Parabel. Eine schmalere Parabel hat einen größeren Betrag von a (z.B. |a| > 1), während eine breitere Parabel einen kleineren Betrag von a hat (z.B. |a| < 1). 4. **Funktionsform**: Der allgemeine Funktionsterm einer Parabel ist in der Form \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist. Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Gleichung ein. 5. **Weitere Punkte**: Wenn möglich, bestimme weitere Punkte auf der Parabel, um den Wert von a genauer zu bestimmen. Setze diese Punkte in die Gleichung ein, um a zu berechnen. Durch diese Schritte kannst du den Funktionsterm der Parabel aus ihrem Graphen ableiten.

Accepted Answer

Der Graph der Stammfunktion einer nach oben hin geöffneten Parabel hat die Form einer kubischen Funktion. Eine nach oben hin geöffnete Parabel kann allgemein durch die Funktion \( f(x) = ax^... [mehr]

Accepted Answer

Der Graph der Stammfunktion einer nach oben hin geöffneten Parabel hat die Form einer kubischen Funktion. Eine nach oben hin geöffnete Parabel kann allgemein durch die Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) beschrieben werden, wobei \( a > 0 \) ist. Die Stammfunktion \( F(x) \) dieser Parabel wird durch die Integration von \( f(x) \) bestimmt: \[ F(x) = \int (ax^2 + bx + c) \, dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C \] Hierbei ist \( C \) eine Konstante, die den y-Achsenabschnitt der Stammfunktion bestimmt. Der Graph von \( F(x) \) wird also eine kubische Kurve sein, die typischerweise die folgenden Eigenschaften hat: 1. **Allgemeine Form**: Die Funktion hat die Form \( F(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C \). 2. **Verhalten**: Für große positive oder negative Werte von \( x \) wird der Graph in die positive oder negative Richtung steigen, abhängig von dem Vorzeichen von \( a \). 3. **Wendepunkte**: Der Graph kann Wendepunkte aufweisen, die durch die Ableitung \( F'(x) = ax^2 + bx + c \) bestimmt werden. Insgesamt zeigt der Graph der Stammfunktion einer nach oben geöffneten Parabel eine charakteristische S-Form, die von den Koeffizienten der ursprünglichen Parabel abhängt.

Accepted Answer

Die Scheitelpunktform einer Parabel hat die allgemeine Form \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \((h, k)\) der Scheitelpunkt der Parabel ist. Um die Scheitelpunktform aus der allgemeinen Form \( y = ax^2... [mehr]

Accepted Answer

Die Scheitelpunktform einer Parabel hat die allgemeine Form \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \((h, k)\) der Scheitelpunkt der Parabel ist. Um die Scheitelpunktform aus der allgemeinen Form \( y = ax^2 + bx + c \) zu berechnen, kannst du die folgende Vorgehensweise nutzen: 1. **Berechne den Scheitelpunkt**: - Der x-Wert des Scheitelpunkts \( h \) wird mit der Formel \( h = -\frac{b}{2a} \ berechnet. - Setze \( h \) in die ursprüngliche Gleichung ein, um den y-Wert \( k \) zu finden: \( k = a(h)^2 + b(h) + c \). 2. **Setze die Werte in die Scheitelpunktform ein**: - Ersetze \( h \) und \( k \) in die Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \). Beispiel: Gegeben sei die Funktion \( y = 2x^2 + 4x + 1 \). 1. Berechne \( h \): - \( h = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1 \) 2. Berechne \( k \): - \( k = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \) 3. Setze in die Scheitelpunktform ein: - \( y = 2(x + 1)^2 - 1 \) Somit ist die Scheitelpunktform \( y = 2(x + 1)^2 - 1 \).