y''' + 2y'' + y' = 0, bitte sehr ausführliche Lösung?

Um die Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) zu lösen, gehen wir schrittweise vor. Diese Gleichung ist eine lineare homogene Differentialgleichung dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. 1. **Charakteristische Gleichung aufstellen:** Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) lautet: \[ r^3 + 2r^2 + r = 0 \] 2. **Lösen der charakteristischen Gleichung:** Faktorisieren wir die charakteristische Gleichung: \[ r(r^2 + 2r + 1) = 0 \] Weiter faktorisieren: \[ r(r + 1)^2 = 0 \] Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind: \[ r = 0, \quad r = -1 \quad (\text{doppelte Wurzel}) \] 3. **Allgemeine Lösung der Differentialgleichung:** Da wir eine einfache Wurzel \( r = 0 \) und eine doppelte Wurzel \( r = -1 \) haben, ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: \[ y(t) = C_1 e^{0t} + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t} \] Da \( e^{0t} = 1 \), vereinfacht sich die Lösung zu: \[ y(t) = C_1 + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t} \] Hier sind \( C_1 \), \( C_2 \) und \( C_3 \) Konstanten, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Zusammengefasst ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \): \[ y(t) = C_1 + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t} \]