y''' + 2y'' + y' = 0, bitte sehr ausführliche Lösung?

Um die Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) zu lösen, gehen wir schrittweise vor. Diese Gleichung ist eine lineare homogene Differentialgleichung dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

1. **Charakteristische Gleichung aufstellen:**
Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) lautet:
\[
r^3 + 2r^2 + r = 0
\]

2. **Lösen der charakteristischen Gleichung:**
Faktorisieren wir die charakteristische Gleichung:
\[
r(r^2 + 2r + 1) = 0
\]
Weiter faktorisieren:
\[
r(r + 1)^2 = 0
\]
Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind:
\[
r = 0, \quad r = -1 \quad (\text{doppelte Wurzel})
\]

3. **Allgemeine Lösung der Differentialgleichung:**
Da wir eine einfache Wurzel \( r = 0 \) und eine doppelte Wurzel \( r = -1 \) haben, ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:
\[
y(t) = C_1 e^{0t} + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t}
\]
Da \( e^{0t} = 1 \), vereinfacht sich die Lösung zu:
\[
y(t) = C_1 + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t}
\]
Hier sind \( C_1 \), \( C_2 \) und \( C_3 \) Konstanten, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden können.

Zusammengefasst ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \):
\[
y(t) = C_1 + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t}
\]