\(2 \cdot 8^{(2x+2)} = \sqrt{32}\) Umformen: \(8 = 2^3\) \(\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}\) Dann: \(2 \cdot (2^3)^{(2x+2)} = 2^{5/2}\) \(2 \cdot 2^{6x+6} = 2^{5/2}\) \(2^{1+6x+6} = 2^{5/2}\)...
Berechne x: √(1-7x) = x + 7?
Antwort vomUm die Gleichung \(\sqrt{1 - 7x} = x + 7\) zu lösen, gehe wie folgt vor: 1. Quadriere beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel zu eliminieren: \[ 1 - 7x = (x + 7)^2 \] 2. Entwickle die rechte Seite: \[ 1 - 7x = x^2 + 14x + 49 \] 3. Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung: \[ 0 = x^2 + 14x + 49 + 7x - 1 \] \[ 0 = x^2 + 21x + 48 \] 4. Jetzt kannst du die quadratische Gleichung \(x^2 + 21x + 48 = 0\) mit der Mitternachtsformel lösen: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \(a = 1\), \(b = 21\) und \(c = 48\). 5. Berechne die Diskriminante: \[ b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 441 - 192 = 249 \] 6. Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-21 \pm \sqrt{249}}{2} \] 7. Berechne die beiden Lösungen: \[ x_1 = \frac{-21 + \sqrt{249}}{2}, \quad x_2 = \frac{-21 - \sqrt{249}}{2} \] 8. Überprüfe, ob die Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen, da beim Quadrieren Lösungen verloren gehen können. Die Lösungen sind also: \[ x_1 = \frac{-21 + \sqrt{249}}{2}, \quad x_2 = \frac{-21 - \sqrt{249}}{2} \]
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