39 Fragen zu Mathe

Um die Gleichung \((x+1)^2 = x^2 + x + 6\) zu lösen, expandieren wir zunächst die linke Seite: \[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] Nun setzen wir die beiden Seiten der Gleichung gleich: [ x^2 + 2x + 1 = x^2 + x + 6 \] Jetzt subtrahieren wir \(x^2\) von beiden Seiten: \[ 2x + 1 = x + 6 \] Nun subtrahieren wir \(x\) von beiden Seiten: \[ 2x - x + 1 = 6 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x + 1 = 6 \] Jetzt subtrahieren wir 1 von beiden Seiten: \[ x = 5 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 5\).

Um die Aufgabe \( \frac{27z^{15}}{9z^{6}} \) zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Zahlen teilen**: Teile die Koeffizienten (27 und 9): \[ \frac{27}{9} = 3 \] 2. **Variablen teilen**: Teile die Potenzen von \( z \) unter Verwendung der Regel \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ \frac{z^{15}}{z^{6}} = z^{15-6} = z^{9} \] 3. **Ergebnis zusammenfassen**: Kombiniere die Ergebnisse aus den beiden Schritten: \[ 3z^{9} \] Das Endergebnis ist also: \[ 3z^{9} \]

Um die Brüche \( \frac{25}{26} \) und \( \frac{3}{4} \) auf einen Hauptnenner zu erweitern, müssen wir zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgV) finden. Die Nenner sind 26 und 4. Die Vielfachen von 26 sind: 26, 52, 78, ... Die Vielfachen von 4 sind: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ... Der kleinste gemeinsame Nenner ist 52. Jetzt erweitern wir die Brüche: 1. Für \( \frac{25}{26} \): \[ \frac{25}{26} = \frac{25 \times 2}{26 \times 2} = \frac{50}{52} \] 2. Für \( \frac{3}{4} \): \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 13}{4 \times 13} = \frac{39}{52} \] Die erweiterten Brüche sind also \( \frac{50}{52} \) und \( \frac{39}{52} \).

Um die Aufgabe 728 - 579 schriftlich zu rechnen, kannst du die folgende Vorgehensweise nutzen: 1. Schreibe die Zahlen untereinander, so dass die Einheiten, Zehner und Hunderter übereinander stehen: ``` 728 - 579 ``` 2. Beginne mit der Subtraktion von rechts nach links, also bei den Einheiten: - Einheiten: 8 - 9 geht nicht, also musst du von der Zehnerstelle "ausleihen". Das bedeutet, du nimmst 1 von der 2 in der Zehnerstelle (die wird dann zu 1) und fügst 10 zu der 8 in der Einheitenstelle hinzu, sodass du 18 hast. - Jetzt rechnest du: 18 - 9 = 9. 3. Jetzt zur Zehnerstelle: - Du hast jetzt 1 (von der Ausleihe) in der Zehnerstelle. Also: 1 - 7 geht nicht, also musst du wieder aus der Hunderterstelle ausleihen. Du nimmst 1 von der 7 in der Hunderterstelle (die wird dann zu 6) und fügst 10 zu der 1 in der Zehnerstelle hinzu, sodass du 11 hast. - Jetzt rechnest du: 11 - 7 = 4. 4. Schließlich zur Hunderterstelle: - Du hast jetzt 6 - 5 = 1. 5. Setze die Ergebnisse zusammen: ``` 728 - 579 ------ 149 ``` Das Ergebnis der Subtraktion 728 - 579 ist also 149.

Bei linearen Funktionen gibt es einige wichtige Punkte, die du dir merken solltest: 1. **Allgemeine Form**: Eine lineare Funktion hat die Form \( f(x) = mx + b \), wobei \( m \) die Steigung und \( b \) der y-Achsenabschnitt ist. 2. **Steigung (m)**: Die Steigung gibt an, wie steil die Linie ist. Ein positiver Wert bedeutet, dass die Funktion steigt, während ein negativer Wert bedeutet, dass sie fällt. Die Steigung kann auch als Verhältnis von Änderung in y zu Änderung in x interpretiert werden. 3. **y-Achsenabschnitt (b)**: Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet. Dies ist der Wert von \( f(x) \), wenn \( x = 0 \). 4. **Graphische Darstellung**: Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine gerade Linie. Du kannst zwei Punkte bestimmen, um die Linie zu zeichnen, indem du verschiedene Werte für \( x \) einsetzt. 5. **Nullstelle**: Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion den Wert 0 erreicht. Sie kann durch die Gleichung \( mx + b = 0 \) gefunden werden. 6. **Parallelität und Orthogonalität**: Zwei lineare Funktionen sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Sie sind orthogonal (rechtwinklig zueinander), wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt. 7. **Anwendungen**: Lineare Funktionen werden häufig in der Wirtschaft, Physik und anderen Wissenschaften verwendet, um Beziehungen zwischen Variablen darzustellen. Diese Punkte bieten eine gute Grundlage für das Verständnis linearer Funktionen.

Um den Ausdruck \(14z - 5y - 12z + 2y + 5\) zu vereinfachen, kannst du die ähnlichen Terme zusammenfassen: 1. Die \(z\)-Terme: \(14z - 12z = 2z\) 2. Die \(y\)-Terme: \(-5y + 2y = -3y\) 3. Der konstante Term bleibt \(5\). Somit ergibt sich der vereinfachte Ausdruck: \[2z - 3y + 5\]

0,0001 ist kleiner als 1/1000. Um das zu vergleichen, kann man 1/1000 in Dezimalform umwandeln, was 0,001 ergibt. Da 0,0001 < 0,001, ist 0,0001 kleiner als 1/1000.

Um die Senkrechte von Punkt P auf die Gerade g, die durch die Punkte A und B verläuft, zu konstruieren, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Gleichung der Geraden g**: - Zuerst berechnest du die Steigung \( m \) der Geraden, die durch die Punkte A (1, 4) und B (7, 1) verläuft: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 4}{7 - 1} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] 2. **Bestimme die Gleichung der Geraden g in der Punkt-Steigungsform**: - Verwende den Punkt A (1, 4) und die Steigung \( m = -\frac{1}{2} \): \[ y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1) \] Dies vereinfacht sich zu: \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 4 = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} \] 3. **Bestimme die Steigung der Senkrechten**: - Die Steigung der Senkrechten ist der negative Kehrwert der Steigung der Geraden g: \[ m_{\text{senkrecht}} = 2 \] 4. **Bestimme die Gleichung der Senkrechten durch P**: - Verwende den Punkt P (-0,5, -1,5) und die Steigung \( m_{\text{senkrecht}} = 2 \): \[ y - (-1,5) = 2(x - (-0,5)) \] Dies vereinfacht sich zu: \[ y + 1,5 = 2(x + 0,5) \] \[ y + 1,5 = 2x + 1 \] \[ y = 2x - 0,5 \] 5. **Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden**: - Setze die Gleichungen gleich: \[ -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} = 2x - 0,5 \] Multipliziere die gesamte Gleichung mit 2, um die Brüche zu eliminieren: \[ -x + 9 = 4x - 1 \] \[ 9 + 1 = 4x + x \] \[ 10 = 5x \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] - Setze \( x = 2 \) in eine der beiden Gleichungen ein, um \( y \) zu finden: \[ y = -\frac{1}{2}(2) + \frac{9}{2} = -1 + \frac{9}{2} = \frac{7}{2} \] 6. **Schnittpunkt**: - Der Schnittpunkt der Senkrechten von P auf die Gerade g ist also \( (2, \frac{7}{2}) \). Damit hast du die Senkrechte von P auf die Gerade g konstruiert und den Schnittpunkt gefunden.

Der Überschlag von 485 - 216 kann durch Runden der Zahlen vereinfacht werden. Du kannst 485 auf 500 und 216 auf 200 runden. Dann rechnest du: 500 - 200 = 300. Der Überschlag ergibt also ungefähr 300.

Um den Ausdruck \( y - 23uy \) auszuklammern, suchst du nach einem gemeinsamen Faktor. In diesem Fall ist der gemeinsame Faktor \( y \). Du kannst den Ausdruck wie folgt umformen: \[ y - 23uy = y(1 - 23u) \] Das ist das Ergebnis des Ausklammerns.

Hier sind einige Beispiele für Fragen, deren Lösung 5 ist: 1. Was ist 2 + 3? 2. Wie viel ist 10 - 5? 3. Was ergibt 25 ÷ 5? 4. Wie viel ist 1 × 5? 5. Wenn du 8 Äpfel hast und 3 davon isst, wie viele bleiben übrig? Diese Fragen führen alle zu dem Ergebnis 5.

Siebzehndrittel, also \( \frac{17}{3} \), kann nicht weiter gekürzt werden, da 17 eine Primzahl ist und keine gemeinsamen Teiler mit 3 hat. Die Bruchform bleibt also \( \frac{17}{3} \). Wenn du möchtest, kannst du den Bruch auch als gemischte Zahl darstellen: \( 5 \frac{2}{3} \).

Um die Gleichung \( 4x - (3x - (2x + 1) - 9) = 1 \) nach \( x \) aufzulösen, folge diesen Schritten: 1. Vereinfache den inneren Ausdruck: \[ 3x - (2x + 1) - 9 = 3x - 2x - 1 - 9 = x - 10 \] 2. Setze den vereinfachten Ausdruck in die Gleichung ein: \[ 4x - (x - 10) = 1 \] 3. Vereinfache weiter: \[ 4x - x + 10 = 1 \] \[ 3x + 10 = 1 \] 4. Subtrahiere 10 von beiden Seiten: \[ 3x = 1 - 10 \] \[ 3x = -9 \] 5. Teile durch 3: \[ x = -3 \] Die Lösung der Gleichung ist \( x = -3 \).

Aufgabe: Eine chemische Reaktion wird durch die Funktion \( f(t) = -2t^3 + 12t^2 - 18t + 5 \) beschrieben, wobei \( f(t) \) die Konzentration eines Reaktionsprodukts in Mol/L nach \( t \) Minuten darstellt. 1. Bestimme die lokale Änderungsrate der Konzentration \( f(t) \) an der Stelle \( t = 2 \) Minuten. 2. Ermittele die Stellen, an denen die Konzentration des Reaktionsprodukts am stärksten zunimmt bzw. abnimmt. Hinweis: Du kannst die lokale Änderungsrate durch die Ableitung \( f'(t) \) ermitteln und die Extremstellen durch das Setzen der Ableitung gleich null finden.

Ein Punkt P, der weder in der x2x3-Ebene noch in der x1x3-Ebene liegt, könnte beispielsweise die Koordinaten P(1, 1, 1) haben. In diesem Fall liegt der Punkt nicht in der x2x3-Ebene, da die x1-Koordinate nicht null ist, und er liegt auch nicht in der x1x3bene, da die x2-Koordinate ebenfalls nicht null ist.